Question

如圖1—110（1）所示，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為公共邊的全等三角形．請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題．

（1）如圖1一110（2）所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（不要求寫證明）

（2）如圖1-110（3）所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，那么（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：在OM，ON上分別取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，

BD，則△OAD與△OBD全等，如圖l一114（1）所示．（1）FE與FD之間的

數(shù)量關(guān)系為FE=FD． 

（2）（1）中的結(jié)論FE=FD仍然成立．證法1：如圖1—114（2）所示，在AC上截取AG=AE，連接FG，則△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG．由∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠CFD．由∠3=∠4及FC為公共邊，可得△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD．證法2：如圖1—114（3）所示，過(guò)點(diǎn)F分別作FG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H，F(xiàn)I⊥AC于點(diǎn)I．因?yàn)椤螧=60°，且AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，所以∠2十∠3=60°，∠EFA=∠2＋∠3=60°，所以∠GEF=60°＋∠1．由角平分線的性質(zhì)可得FG=FI=FH．又因?yàn)?i>∠HDF=∠B＋∠1，所以∠GEF=∠HDF．因此由∠EGF=∠DHF，∠GEF=∠HDF，F(xiàn)G=FH可證AEGF≌△DHF，所以FE=FD