Question

己知：二次函數(shù)y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）點(diǎn)

A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一元二次方程x2-4x-12=0的兩個根．

（1）請直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）請求出該二次函數(shù)表達(dá)式及對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）如圖1，在二次函數(shù)對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APC的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（4）如圖2，連接AC、BC，點(diǎn)Q是線段0B上一個動點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)0、B重合）．過點(diǎn)Q作QD∥AC交BC于點(diǎn)D，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），當(dāng)△CDQ面積S最大時，求m的值．

 

 

Answer 1

（1）A（-2，0），B（6，0）；(2) y=-x2+2x+6，拋物線對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）；(3) P（2，4）；(4)2.

【解析】

試題分析：（1）解一元二次方程x2-4x-12=0可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+6，可求二次函數(shù)解析式，配方為頂點(diǎn)式，可求對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點(diǎn)，連接CP，P點(diǎn)即為所求；

（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面積，利用三角形面積公式表示△ACQ的面積，根據(jù)S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積最大時，m的值．

試題解析：（1）A（-2，0），B（6，0）；

（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+6，得

，

解得，

∴y=-x2+2x+6，

∵y=-（x-2）2+8，

∴拋物線對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）；

（3）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點(diǎn)，連接CP，

∵C（0，6），

∴C′（4，6），

設(shè)直線AC′解析式為y=ax+b，則

，

解得，

∴y=x+2，當(dāng)x=2時，y=4，

即P（2，4）；

（4）依題意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，則S△ABC=AB×OC=24，

∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，

∴

即S△BDQ=，

又S△ACQ=AQ×OC=3m+6，

∴S=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ=24--(3m+6)=-m2+m+=-（m-2）2+6，

∴當(dāng)m=2時，S最大．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．