Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，CE平分∠ACB，交AB于點E．

（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：△PCE是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1所示：連接OC．

∵PD切⊙O于點C，

∴OC⊥PD．

又∵AD⊥PD，

∴OC∥AD．

∴∠ACO=∠DAC．

又∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB

（2）

解：∵AD⊥PD，

∴∠DAC+∠ACD=90°．

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

∴∠PCB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠PCB．

又∵∠DAC=∠CAO，

∴∠CAO=∠PCB．

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∴∠CAO+∠ACE=∠PCB+∠BCE，

∴∠PEC=∠PCE，

∴PC=PE，

即△PCE是等腰三角形

【解析】（1）依據(jù)切線的性質(zhì)可知OC⊥DC，然后可證明AD∥OC，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠DAC=∠ACO，然后依據(jù)OA=OC可證明∠OAC=∠ACO，通過等量代換可證明AC平分∠DAB；（2）依據(jù)直徑所對的圓周角等于90°可證明∠ACB=90°，然后依據(jù)同角的余角相等可證明∠DAC=∠BCP，由（1）可知AC平分∠DAB，從而得到∠CAE=∠BCP，然后結(jié)合∠ACE=∠ECB可證明∠PCE=∠PEC．