Question

【題目】在平面直角坐標xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D（其中點C、O、D按逆時針方向排列），連接AB．

（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數(shù)為 ；

（2）連接AC，BC，在點C在⊙O運動過程中，△ABC的面積是否存在最大值？并求出△ABC的最大值；

（3）直接寫出在（2）的條件下D點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）45°或135°；（2）最大值為；（3）D坐標是（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點A和點B坐標易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當C點在y軸左側(cè)時，有∠BOC=∠OBA=45°；當C點在y軸右側(cè)時，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°，從而得出答案；

（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=OA，根據(jù)三角形面積公式得到當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計算出OE，然后計算△ABC的面積；

（3）由（2）可知當△ABC的面積最大值時，則點C在第三象限，因為OD⊥OC，所以點D在第二象限，過點D作DH⊥OB，DM⊥AO，分別求出DH，DM的長即可求出點D的坐標．

試題解析：（1）∵點A（6，0），點B（0，6），∴OA=OB=6，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵OC∥AB，∴當C點在y軸左側(cè)時，∠BOC=∠OBA=45°，當C點在y軸右側(cè)時，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°，∴∠OBA=45°或135°；故答案為：45°或135°；

（2）∵△OAB為等腰直角三角形，∴AB=OA=，∴當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，如圖：此時C點到AB的距離最大值為CE的長，∵△OAB為等腰直角三角形，∴OE=AB=，∴CE=OC+OE=，△ABC的面積=CEAB=（）×=，當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，△ABC的面積最大，最大值為；

（3）過點D作DH⊥OB，DM⊥AO，由（2）可知點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置，∴∠COM=45°，∵OD⊥OC，∴∠DOM=45°，∵OD=3，∴DM=，DH=，∴點D坐標是（，）．