Question

高科技發(fā)展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金1500萬元作為固定投資，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是40元．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設(shè)銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利（年獲利=年銷售額一生產(chǎn)成本-投資）為z（萬元）．
（1）試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不寫x的取值范圍）；
（2）試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不寫x的取值范圍）；
（3）公司計劃，在第一年按年獲利最大確定銷售單價進(jìn)行銷售；到第二年年底獲利不低于1130萬元，請借助函數(shù)的大致圖象說明：第二年的銷售單價x（元）應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）銷售單價為x元，用x表示出年銷售量和每件產(chǎn)品銷售利潤；
（2）利用每件產(chǎn)品銷售利潤×年銷售量=年獲利列出函數(shù)解答；
（3）利用配方法求得第一年按獲利最大的銷售單價，求得第二年的年獲利函數(shù)，畫出圖象，利用圖象解答即可．

解答：（1）依題意知，當(dāng)銷售單價定為x元時，年銷售量減少

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（x-100）萬件．
∴y=20-

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（x-100）=-

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x+30．
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=-

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x+30．
（2）由題意，得：z=（30-

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）（x-40）-500-1500=-

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x²+34x-3200．
即z與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：z=-

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x²+34x-3200．
（3）∵z=-

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x²+34x-3200=-

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（x-170）²-310．
∴當(dāng)x=170時，z取最大值，最大值為-310．
也就是說：當(dāng)銷售單價定為170元時，年獲利最大，并且到第一年底公司還差310萬元就可以收回全部投資．
第二年的銷售單價定為x元時，則年獲利為：
z=（30-

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x）（x-40）-310
=-

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x²+34x-1510．
當(dāng)z=1130時，即1130=-

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+34-1510．
整理，得x²-340x+26400=0．
解 x₁=120，x₂=220．
函數(shù)z=-

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x²+34x-1510的圖象大致如圖所示：

由圖象可以看出：當(dāng)120≤x≤220時，z≥1130．
所以第二年的銷售單價應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi)．

點(diǎn)評：此題考查利用基本數(shù)量關(guān)系列二次函數(shù)，配方法的運(yùn)用以及利用圖象求一元二次不等式的解．