【題目】如圖,直線y=x﹣1與拋物線y=﹣x2+6x﹣5相交于A、D兩點.拋物線的頂點為C,連結AC.
(1)求A,D兩點的坐標;
(2)點P為該拋物線上一動點(與點A、D不重合),連接PA、PD.
①當點P的橫坐標為2時,求△PAD的面積;
②當∠PDA=∠CAD時,直接寫出點P的坐標.
【答案】(1)A(1,0),D(4,3);(2)①當點P的橫坐標為2時,求△PAD的面積;②當∠PDA=∠CAD時,直接寫出點P的坐標.
【解析】
(1)由于A、D是直線直線y=x﹣1與拋物線y=﹣x2+6x﹣5的交點,要求兩個交點的坐標,需可聯(lián)立方程組求解;
(2)①要求△PAD的面積,可以過P作PE⊥x軸,與AD相交于點E,求得PE,再用△PAE和△PDE的面積和求得結果;
②分兩種情況解答:過D點作DP∥AC,與拋物線交于點P,求出AC的解析式,進而得PD的解析式,再解PD的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組,便可求得P點坐標;當P點在AD上方時,延長DP與y軸交于F點,過F點作FG∥AC與AD交于點G,則∠CAD=∠FGD=∠PDA,則FG=FD,設F點坐標為(0,m),求出G點的坐標(用m表示),再由FG=FD,列出m的方程,便可求得F點坐標,從而求出DF的解析式,最后解DF的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立的方程組,便可求得P點坐標.
(1)聯(lián)立方程組,
解得,,,
∴A(1,0),D(4,3),
(2)①過P作PE⊥x軸,與AD相交于點E,
∵點P的橫坐標為2,
∴P(2,3),E(2,1),
∴PE=3﹣1=2,
∴=3;
②過點D作DP∥AC,與拋物線交于點P,則∠PDA=∠CAD,
∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
∴C(3,4),
設AC的解析式為:y=kx+b(k≠0),
∵A(1,0),
∴,
∴,
∴AC的解析式為:y=2x-2,
設DP的解析式為:y=2x+n,
把D(4,3)代入,得3=8+n,
∴n=-5,
∴DP的解析式為:y=2x-5,
聯(lián)立方程組,
解得,,,
∴此時P(0,-5),
當P點在直線AD上方時,延長DP,與y軸交于點F,過F作FG∥AC,FG與AD交于點G,
則∠FGD=∠CAD=∠PDA,
∴FG=FD,
設F(0,m),
∵AC的解析式為:y=2x-2,
∴FG的解析式為:y=2x+m,
聯(lián)立方程組,
解得,,
∴G(-m-1,-m-2),
∴FG=,FD=,
∵FG=FD,
∴=,
∴m=-5或1,
∵F在AD上方,
∴m>-1,
∴m=1,
∴F(0,1),
設DF的解析式為:y=qx+1(q≠0),
把D(4,3)代入,得4q+1=3,
∴q=,
∴DF的解析式為:y=x+1,
聯(lián)立方程組
∴,,
∴此時P點的坐標為(,),
綜上,P點的坐標為(0,-5)或(,).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,菱形的頂點為坐標原點,且與反比例函數的圖象相交于,兩點,且點的縱坐標為,已知點,則的值為( ).
A.B.C.9D.
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【題目】如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45°,其中點A,C,E在同一直線上.
(1)求坡底C點到大樓距離AC的值;
(2)求斜坡CD的長度.
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【題目】小西紅柿又叫圣女果,既可以生吃,也可以作為美食原料,營養(yǎng)價值極高,因此深受人們的歡迎,為了解甲、乙兩個規(guī)模相當的種植基地的小西紅柿產量,從這兩個種植基地中各隨機選取50株小西紅柿秧苗進行調查,將得到的數據分類整理成如下統(tǒng)計表:
甲基地每株秧苗收獲小西紅柿個數統(tǒng)計表:
小西紅柿個數x/個 | 25≤x<35 | 35≤x<45 | 45≤x<55 | 55≤x<65 | 65≤x<75 | 75≤x<85 |
秧苗株數/株 | 4 | 8 | 12 | 12 | 10 | 4 |
乙基地每株秧苗收獲小西紅柿個數統(tǒng)計表:
小西紅柿個數 x/個 | 25≤x<35 | 35≤x<45 | 45≤x<55 | 55≤x<65 | 65≤x<75 | 75≤x<85 |
秧苗株數/株 | 9 | 6 | 12 | 10 | 11 | 2 |
(說明:x<45為產量不合格,x≥45為產量合格,其中45≤x<65為產量良好,65≤x<85為產量優(yōu)秀)
(
(2)某水果商準備在甲、乙兩個小西紅柿種植基地中選擇一個進行合作,若一株秧苗產量優(yōu)秀可獲利13元,產量良好可獲利8元,產量不合格虧損5元.以這兩個基地的50株秧苗獲得的平均利潤為決策依據,請你利用所學的統(tǒng)計知識幫該水果商選擇與哪個基地進行合作能獲得更大利潤?并說明理由.
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【題目】河西中學九年級共有9個班,300名學生,學校要對該年級學生數學學科學業(yè)水平測試成績進行抽樣分析,請按要求回答下列問題:
(1)(收集數據)若從所有成績中抽取一個容量為36的樣本,以下抽樣方法中最合理的是________.
①在九年級學生中隨機抽取36名學生的成績;
②按男、女各隨機抽取18名學生的成績;
③按班級在每個班各隨機抽取4名學生的成績.
(2)(整理數據)將抽取的36名學生的成績進行分組,繪制頻數分布表和成績分布扇形統(tǒng)計圖如下.請根據圖表中數據填空:
成績(單位:分) | 頻數 | 頻率 |
A類(80~100) | 18 | |
B類(60~79) | 9 | |
C類(40~59) | 6 | |
D類(0~39) | 3 |
①C類和D類部分的圓心角度數分別為________°、________°;
②估計九年級A、B類學生一共有________名.
(3)(分析數據)教育主管部門為了解學校教學情況,將河西、復興兩所中學的抽樣數據進行對比,得下表:
學校 | 平均數(分) | 極差(分) | 方差 | A、B類的頻率和 |
河西中學 | 71 | 52 | 432 | 0.75 |
復興中學 | 71 | 80 | 497 | 0.82 |
你認為哪所學校本次測試成績較好,請說明理由.
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【題目】已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點.
(1)如圖,E、F分別是AB、AC上的點,且BE=AF,求證:△DEF為等腰直角三角形.
(2)若E、F分別為AB,CA延長線上的點,仍有BE=AF,其他條件不變,那么,△DEF是否仍為等腰直角三角形?畫出圖形,寫出結論不證明.
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【題目】如圖,已知BC⊥AC,圓心O在AC上,點M與點C分別是AC與⊙O的交點,點D是MB與⊙O的交點,點P是AD延長線與BC的交點,且ADAO=AMAP.
(1)連接OP,證明:△ADM∽△APO;
(2)證明:PD是⊙O的切線;
(3)若AD=12,AM=MC,求PB和DM的值.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線交軸于點,交軸于點,.
(1)如圖1,求的值;
(2)如圖2,經過點的直線與直線交于點,與軸交于點,,交于點,設線段長為,求與的函數關系式;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點在第四象限,交于點,,點在第一象限,,點在軸上,點在上,交于點,,過點作,交于點, ,,,點的坐標為,連接,求的面積.
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