【題目】已知:三角形ABC,A=90°,AB=AC,DBC的中點(diǎn).

(1)如圖,EF分別是AB、AC上的點(diǎn),BE=AF,求證:DEF為等腰直角三角形.

(2)E、F分別為AB,CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),仍有BE=AF,其他條件不變,那么,DEF是否仍為等腰直角三角形?畫出圖形,寫出結(jié)論不證明.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)先連接AD,構(gòu)造全等三角形:△BED和△AFDAD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線,所以有∠CAD=BAD=45°,AD=BD=CD,而∠B=C=45°,所以∠B=DAF,再加上BE=AF,AD=BD,可證出:△BED≌△AFD,從而得出DE=DF,∠BDE=ADF,從而得出∠EDF=90°,即△DEF是等腰直角三角形;

(2)根據(jù)題意畫出圖形,連接AD,構(gòu)造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.

解:(1)連結(jié)AD ,

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,DBC中點(diǎn) ,

∴AD⊥BC ,BD=AD ,

∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,

∵BE=AF ,

∴△BDE≌△ADFSAS,

∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,

∴△DEF為等腰直角三角形.

2)連結(jié)AD

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,DBC中點(diǎn) ,

∴AD=BD ,AD⊥BC ,

∴∠DAC=∠ABD=45° ,

∴∠DAF=∠DBE=135°,

又∵AF=BE ,

∴△DAF≌△DBESAS,

∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.

∴△DEF為等腰直角三角形.

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