Question

如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（1）當∠BQD=30°時，求AP的長；
（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由；
（3）在整個運動過程中，設AP為x，BD為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當△BDQ為等腰三角形時BD的值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）設AP為x，根據(jù)已知求出PC=4-x，CQ=4+x，再根據(jù)∠BQD=30°，得出CQ=

3

PC，再把相應的值代入即可求出x的值；
（2）作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，根據(jù)PE⊥AB于E，得出∠DFQ=∠AEP=90°，再根據(jù)點P，Q做勻速運動且速度相同，得出△ABC是等腰直角三角形，證出PE=QF，在△PDE和△QDF中，根據(jù)AAS得出△PDE≌△QDF，得出DE=DF，DE=

1

2

AB，再根據(jù)AC=BC=4，求出AB和DE的值，從而得出當點P，Q運動時，線段DE的長度不會改變．
（3）根據(jù)AP=x，BD=y，得出AE=

2

2

x，再根據(jù)AB=AE+DE+BD，得出y=-

2

2

x+2

2

（0＜x＜4），當△BDQ為等腰三角形時，得出x=y，求出x的值即可．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
設AP為x，
∴PC=4-x，CQ=4+x．
∵∠BQD=30°，
∴CQ=

3

PC．
∴4+x=

3

（4-x）．
解得x=8-4

3

．

（2）當點P，Q運動時，線段DE的長度不會改變．理由如下：
作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，
∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵點P，Q做勻速運動且速度相同，
∴AP=BQ．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴可證 PE=QF=AE=BF．
在△PDE和△QDF中，

∠DFQ=∠AEP ∠PDE=∠QDF QF=EP

，
∴△PDE≌△QDF（AAS），
∴DE=DF．
∴DE=

1

2

AB．
又∵AC=BC=4，
∴AB=4

2

，
∴DE=2

2

，
∴當點P，Q運動時，線段DE的長度不會改變．

（3）∵AP=x，BD=y，
∴AE=

2

2

x，
∵AB=AE+DE+BD，
∵4

2

=

2

2

x+2

2

+y，
即y=-

2

2

x+2

2

（0＜x＜4），
當△BDQ為等腰三角形時，x=y，
∴x=4

2

-4，
即BD的值為4

2

-4．

點評：本題考查了相似形的綜合，用到的指的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．