Question

如圖，正方形ABCD中，E為AB邊上一點，連接CE，且sin∠ECB=

5

5

．以CE為直角邊作等腰Rt△CEF，斜邊CF分別交BD、AD于G、H點．
（1）若CF=10，求正方形ABCD的面積；
（2）求證：BE=

2

DG．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE，然后利用∠ECB的正弦求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，再根據(jù)正方形的面積公式列式計算即可得解；
（2）連接EH，延長AD至M，使DM=EB，連接CM，利用“邊角邊”證明△BCE和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EC=MC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BCE=∠DCM，然后求出∠ECH=∠MCH，再利用“邊角邊”證明△ECH和△MCH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EH=MH，設(shè)HD=x，正方形ABCD的邊長為2a，表示出AE=BE=a，再表示出AH，EH，然后利用勾股定理列式求解得到x，再利用△DHG和△BCG相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例表示出DG，即可得證．

解答：（1）解：∵△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=

2

2

CF=

2

2

×10=5

2

，
∴BE=CE•sin∠ECB=5

2

×

5

5

=

10

，
由勾股定理得，BC=

CE2-BE2

=

(5 2 )2-( 10 )2

=2

10

，
∴正方形ABCD的面積=（2

10

）²=40；

（2）證明：連接EH，延長AD至M，使DM=EB，連接CM，
在△BCE和△DCM中，

BC=CD ∠ABC=∠CDM=90° DM=EB

，
∴△BCE≌△DCM（SAS），
∴EC=MC，∠BCE=∠DCM，
∴∠ECH=∠MCH=45°，
在△ECH和△MCH中，

EC=MC ∠ECH=∠MCH CH=CH

，
∴△ECH≌△MCH（SAS），
∴EH=MH，
設(shè)HD=x，正方形ABCD的邊長為2a，
則AE=BE=a，BD=

2

AB=2

2

a，
AH=2a-x，EH=a+x，
在Rt△AEH中，AE²+AH²=EH²，
即a²+（2a-x）²=（a+x）²，
解得x=

2

3

a，
∵AD∥BC，
∴△DHG∽△BCG，
∴

DG

BG

=

HD

BC

，
即

DG

2 2 a-DG

=

2 3 a

2a

，
解得DG=

2

2

a，
∴DG=

2

2

BE，
故BE=

2

DG．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，難點在于（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形并用正方形ABCD的邊長表示出BE、DG．