Question

如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y₁=-

3

x

（x＜0）的圖象相交于A點，與y軸、x軸分別相交于B、C兩點，且C（2，0）．當x＜-1時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)的值，當x＞-1時，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）設函數(shù)y₂=

a

x

（x＞0）的圖象與y₁=-

3

x

（x＜0）的圖象關于y軸對稱．在y₂=

a

x

（x＞0）的圖象上取一點P（P點的橫坐標大于2），過P作PQ⊥x軸，垂足是Q，若四邊形BCQP的面積等于2，求P點的坐標；
（3）在（2）的條件下，過原點O作直線交線段BQ于點M，若BM：MQ=4：5，在雙曲線y₂=

a

x

（x＞0）上，是否存在點P′，使點P′與點P關于直線OM對稱？若存在，請直接寫出點P′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)當x＜-1時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值；當x＞-1時，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值，利用函數(shù)圖象得到A橫坐標為-1，將x=-1代入反比例解析式求出y的值，確定出A的坐標，設一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將A與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）由函數(shù)y₂═

a

x

（x＞0）的圖象與y₁=-

3

x

（x＜0）的圖象關于y軸對稱，可確定出函數(shù)y₂=

a

x

（x＞0）的解析式，求出三角形BOC面積，設P（n，

3

n

），表示出PQ，OQ的長，利用梯形的面積公式表示出梯形PQOB的面積，由梯形PQOB面積減去三角形BOC面積表示出四邊形BCQP的面積，根據(jù)四邊形BCQP面積為2列出關于n的方程，求出方程的解得到n的值，即可得到點P的坐標；
（3）根據(jù)雙曲線的對稱性，點P關于直線y=x的對稱點P′必在此雙曲線上，因此，只需計算直線OM是否為第一、三象限的角平分線．過點M作MN⊥x軸于N，可證RT△MNQ∽RT△BOQ，利用相似三角形的性質

MN

BO

=

MQ

BQ

，可得MN=

10

9

，再利用

MN

BO

=

NQ

OQ

，求得NQ=

25

18

，從而得到ON=

10

9

，故可得MN=ON，所以直線OM是否為第一、三象限的角平分線，即可得到答案．

解答：解：（1）∵x＜-1時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，當x＞-1時，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值．
∴A點的橫坐標是-1，把x=-1代入y₁=-

3

x

，得y=3
∴A（-1，3），
設一次函數(shù)解析式為y=kx+b，因直線過A、C，
則

-k+b=3 2k+b=0

，
解得：

k=-1 b=2

，
∴一次函數(shù)解析式為y=-x+2
（2）∵y₂=

a

x

 （x＞0）的圖象與y₁=-

3

x

 （x＜0）的圖象y軸對稱，
∴y₂=

3

x

 （x＞0），
∵B點是直線y=-x+2與y軸的交點，
∴B （0，2），
設P（n，

3

n

 ），n＞2  S_{四邊形BCQP}-S_△BOC=2，
∴

1

2

（ 2+

3

n

 ）n-

1

2

×2×2=2，n=

5

2

，
∴P（

5

2

，

6

5

）；
（3）存在，P′（

6

5

，

5

2

）．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點，對稱的性質，坐標與圖形性質，利用了數(shù)形結合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法及數(shù)形結合思想是解本題的關鍵．