Question

對稱軸為直線x=-1的拋物線y=x²+bx+c，與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（-3，0）．
（1）求點B的坐標．
（2）點C是拋物線與y軸的交點，點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的最值,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）利用二次函數(shù)對稱性即可得出B點坐標；
（2）首先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進而求出直線AC的解析式，再利用QD=-x-3-（x²+2x-3）進而求出最值．

解答：解：（1）∵點A（-3，0）與點B關(guān)于直線x=-1對稱，
∴點B的坐標為（1，0）．

（2）∵a=1，∴y=x²+bx+c．
∵拋物線過點（-3，0），且對稱軸為直線x=-1，
∴

9-3b+c=0 - b 2 =-1

∴解得：

b=2 c=-3

，
∴y=x²+2x-3，
且點C的坐標為（0，-3）．
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
則

-3m+n=0 n=-3

，
解得：

m=-1 n=-3

，
∴y=-x-3

如圖，設(shè)點Q的坐標為（x．y），-3≤x≤0．
則有QD=-x-3-（x²+2x-3）=-x²-3x=-（x+

3

2

）²+

9

4

∵-3≤-

3

2

≤0，∴當x=-

3

2

時，QD有最大值

9

4

．
∴線段QD長度的最大值為

9

4

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)最值問題以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識，正確得出QD的解析式是解題關(guān)鍵．