Question

如圖，△ABC中，∠C＞∠B，AE為角平分線，AD⊥BC于D．
（1）求證：∠EAD=

1

2

（∠C-∠B）；
（2）當(dāng)垂足D點在直線BC上運動時（不與點E重全），垂線交直線AE于A′，其他條件不變畫出相應(yīng)的圖形，并指出與在（1）相應(yīng)的結(jié)論是什么？是否仍成立？

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，最后根據(jù)∠EAD=∠BAD-∠BAE代入即可得解；
（2）按要求畫出圖形，與在（1）相應(yīng)的結(jié)論是∠EA′D=

1

2

（∠C-∠B），類比（1）的求法得出答案即可．

解答：（1）證明：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB，
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠1=∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C），
∵∠B=40°，AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-∠B-90°+

1

2

（∠B+∠C）=

1

2

（∠C-∠B）．
（2）如圖所示，

過點A作AG⊥BC于點G，則A′D∥AG，∠DA′E=∠EAG，
∵∠AGC=90°，
∴∠CAG=90°-∠C．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵∠BAE=∠CAE，
∴∠CAE=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C）．
∵∠EAG=∠CAE-∠CAG=90°-

1

2

（∠B+∠C）-（90°-∠C）
=

1

2

（∠C-∠B），
∴∠EA′D=

1

2

（∠C-∠B）．

點評：本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的高、角平分線的性質(zhì)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握三角形的高、中線和角平分線這些基本知識，能靈活運用解決問題．