Question

【題目】如圖，已知中，，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度從向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度從向方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.

(1)求點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長(zhǎng);

(2) 兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是否存在時(shí)間，使四邊形為菱形?若存在，求出此時(shí)的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3) 兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求使與相似的時(shí)間的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或

【解析】

（1）求出點(diǎn)Q的從B到A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出AP的長(zhǎng)，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．

（2）如圖1中，當(dāng)四邊形PQCE是菱形時(shí)，連接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．根據(jù)DQ=CK，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（3）分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，如圖3-2中，當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB==10，

點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，t==5，

∴AP=5，PC=1，

在Rt△PBC中，PB=．

（2）如圖1中，當(dāng)四邊形PQCE是菱形時(shí)，連接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．

∵四邊形PQCE是菱形，

∴PC⊥EQ，PK=KC，

∵∠QKC=∠QDC=∠DCK=90°，

∴四邊形QDCK是矩形，

∴DQ=CK，

∴，

解得t=．

∴t=s時(shí)，四邊形PQCE是菱形．

（3）如圖2中，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，

∵∠APQ=∠C=90°，

∴PQ∥BC，

∴，

∴，

∴．

如圖3中，當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，

∵△AQP∽△ACB，

∴，

∴，

∴，

綜上所述，或s時(shí)，△APQ是直角三角形．