Question

已知拋物線y=x²+4x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，求拋物線上是否存在點(diǎn)M，使直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)寫出M所在直線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

專題：計(jì)算題

分析：直線CM交x軸于N，如圖，先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出A（-3，0），B（-1，0），則根據(jù)對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，得到E點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），接著求出C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，利用直線AC的解析式可確定D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），利用梯形面積公式計(jì)算出S_梯形CDEO=4；當(dāng)直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分時(shí)，S_△OCN=2，根據(jù)三角形面積公式得

1

2

•3•ON=2，解得ON=

4

3

，得到N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

4

3

，0），然后利用待定系數(shù)法求直線CM的解析式．

解答：解：存在．
直線CM交x軸于N，如圖，
當(dāng)y=0時(shí)，x²+4x+3=0，解得x₁=-1，x₂=-3，
則A（-3，0），B（-1，0）；
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²+4x+3=3，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（-3，0）、C（0，3）代入得

-3m+n=0 n=3

，解得

m=1 n=3

，則直線AC的解析式為y=x+3，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=x+3=1，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），
所以S_梯形CDEO=

1

2

×（1+3）×2=4，
因?yàn)橹本�CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分，即S_△OCN=2，則

1

2

•3•ON=2，
解得ON=

4

3

，
所以N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

4

3

，0），
設(shè)直線CM的解析式為y=kx+b，
把C（0，3），N（-

4

3

，0）代入得

b=3 - 4 3 k+b=0

，
解得

k=- 9 4 b=3

，
所以CM所在直線的解析式為y=-

9

4

x+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸直線x=-

b

2a

．也考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．