Question

如圖，在⊙O中，AB為直徑，半徑OC⊥AB，弦EF經(jīng)過CO的中點(diǎn)D，EF∥AB．
（1）求證：

EC

=2

EA

；
（2）若圓的半徑為R，求EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,含30度角的直角三角形,勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：

分析：（1）首先連接OE，由半徑OC⊥AB，EF∥AB，可得OC⊥EF，又由弦EF經(jīng)過CO的中點(diǎn)D，可求得∠OED的度數(shù)，繼而可求得∠COE=2∠AOE，繼而證得結(jié)論；
（2）由勾股定理可求得ED的長，然后由垂徑定理求得EF的長．

解答：（1）證明：連接OE，
∵D是CO的中點(diǎn)，
∴OD=

1

2

OC，
∵徑OC⊥AB，EF∥AB，
∴OC⊥EF，
∴∠OED=30°，
∴∠EOC=60°，
∴∠AOE=90°-∠EOC=30°，
∴∠EOC=2∠EOA，
∴

EC

=2

EA

；

（2）解：∵OD=

1

2

OE=

1

2

R，
∴ED=

OE2-OD2

=

3

2

R，
∴EF=2ED=

3

R．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、平行線的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．