Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點(diǎn)P從A出發(fā)以1厘米/秒的速度沿AD移動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從C出發(fā)以2厘米/秒的速度沿CB移動(dòng)，若AD=18厘米，BC=24厘米．求：
（1）運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形ABQP是矩形；
（2）運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形DCQP是等腰梯形；
（3）運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形DCQP的面積最大？

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,矩形的判定,等腰梯形的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）若四邊形ABQP為矩形，則AP=BQ，用t將AP和BQ分別表示出來，列方程求解即可．
（2）若四邊形PQCD為等腰梯形，則只能PQ=CD，且PD≠Q(mào)C，通過添加輔助線構(gòu)造兩個(gè)直角三角形全等，通過邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系求解．
（2）根據(jù)梯形的面積公式列出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)t的取值范圍來求四邊形DCQP的面積的最大值．

解答：解：（1）若四邊形ABQP為矩形，則AP=BQ．
根據(jù)題意得：AP=t，BQ=BC-CQ=24-2t，
∴t=24-2t，
解得 t=8．
∴當(dāng)t=8時(shí)，四邊形ABQP為矩形；

（2）如圖所示，若四邊形PQCD為等腰梯形，則PQ=DC，分別過點(diǎn)P，D作PE⊥BC于E，DF⊥BC于點(diǎn)F，則PE=DF．
∴Rt△PQE≌Rt△DCF，
∴QE=CF，
又∵QE=BE-BQ=AP-BQ=t-（24-2t）=3t-24，CF=BC-AD=6，
∴3t-24=6，
∴t=10，
∴當(dāng)t=10秒時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形；

（3）∵四邊形DCQP的面積S=

1

2

×（DP+QC）×AB
∴S=

1

2

×（18-t+2t）×AB=

1

2

×（18+t）×AB
∵AB是不變的，0＜t≤

24

2

=12
∴t=12時(shí)，四邊形DCQP的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了梯形的判定，矩形的性質(zhì)以及等腰梯形的判定．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，并求得線段之間的關(guān)系．