Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，點P從點A開始，沿AB向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q從B點開始沿BC以2厘米/秒的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)：
（1）幾秒后四邊形APQC的面積是31平方厘米？
（2）若用S表示四邊形APQC的面積，在經(jīng)過多長時間S取得最小值？并求出最小值．

Answer 1

考點：一元二次方程的應(yīng)用,二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：幾何動點問題

分析：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，可使得四邊形APQC的面積是31平方厘米，根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；根據(jù)面積為31列出方程，判斷即可得到結(jié)果．
（2）根據(jù)題意列出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)來求最值．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，可使得四邊形APQC的面積是31平方厘米，
根據(jù)題意得：

1

2

BP•BQ=

1

2

AB•BC-31，即

1

2

（6-x）•2x=

1

2

×6×12-31，
整理得 （x-1）（x-5）=0
解得：x₁=1，x₂=5．
答：經(jīng)過1或5秒鐘，可使得四邊形APQC的面積是31平方厘米；

（2）依題意得，S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_△BPQ，即S=

1

2

AB•BC-

1

2

BP•BQ=

1

2

×6×12-

1

2

（6-x）•2x=（x-3）²+27（0＜x＜6），
當x-3=0，即x=3時，S_最小=27．
答：經(jīng)過3分鐘時，S取得最小值27平方厘米．

點評：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．