Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始，沿AB向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC以2厘米/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)：
（1）幾秒后四邊形APQC的面積是31平方厘米？
（2）若用S表示四邊形APQC的面積，在經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間S取得最小值？并求出最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用,二次函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

分析：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘，可使得四邊形APQC的面積是31平方厘米，根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；根據(jù)面積為31列出方程，判斷即可得到結(jié)果．
（2）根據(jù)題意列出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘，可使得四邊形APQC的面積是31平方厘米，
根據(jù)題意得：

1

2

BP•BQ=

1

2

AB•BC-31，即

1

2

（6-x）•2x=

1

2

×6×12-31，
整理得 （x-1）（x-5）=0
解得：x₁=1，x₂=5．
答：經(jīng)過(guò)1或5秒鐘，可使得四邊形APQC的面積是31平方厘米；

（2）依題意得，S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_△BPQ，即S=

1

2

AB•BC-

1

2

BP•BQ=

1

2

×6×12-

1

2

（6-x）•2x=（x-3）²+27（0＜x＜6），
當(dāng)x-3=0，即x=3時(shí)，S_最小=27．
答：經(jīng)過(guò)3分鐘時(shí)，S取得最小值27平方厘米．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．