Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在CD的延長線上，且CD=2DE，連接BE交AC于點F．
（1）求證：△CEF∽△ABF．
（2）若DE=2，AF=2，求AC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)可以求得∠1=∠F，又由對頂角的定義得到∠2=∠3，所以根據(jù)“兩角法”可以證得結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，再結(jié)合圖中相關線段間的和差關系和（1）中相似三角形的對應邊成比例來求線段AC的長度．

解答：（1）證明：如圖，∵在?ABCD中，AB∥CD．且點E在CD的延長線上，
∴AD∥CE，
∴∠1=∠F．
又∵∠2=∠3，
∴△CEF∽△ABF；

（2）解：如圖，∵CD=2DE，DE=2，
∴CD=4，CE=6．
∴在?ABCD中，AB=CD=4．
又由（1）知：△CEF∽△ABF，
∴

FC

FA

=

CE

AB

，即

FC

2

=

6

4

，
解得FC=3，
則AC=AF+FC=2+3=5，即線段AC的長度是5．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質(zhì)．