Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O，交BC于D點交AC于F點，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：

BD

=

DF

；
（2）求證：DE為⊙O的切線；
（3）若CE=2，∠BAC=60°，求由DC、CF與

DF

所圍成圖形的面積S．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）根據(jù)圓周角的性質(zhì)求得∠ADB=90°，∠DAC=∠DBF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠CAD=∠BAD，從而求得∠BAD=∠DBF，即可求得

BD

=

DF

；
（2）連接OD，先求得OD三角形的中位線，從而求得OD∥AC，即可求得OD⊥DE，從而求得DE為⊙O的切線；
（3）連接OF，先求得四邊形BCFO是菱形，從而求得∠C=∠FOD=60°，然后根據(jù)S=S_{四邊形BCFO}-S_扇形DOF即可求得由DC、CF與

DF

所圍成圖形的面積S．

解答：（1）證明：連接AD，BF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠DAC=∠DBF，
∴∠BAD=∠DBF
∴

BD

=

DF

；

（2）證明：連接OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AO=BO，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴CD=DB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半徑，
∴DE為⊙O的切線；

（3）解：連接OF，
∵AB=AC，OF=OA，∠BAC=60°，
∴△ABC、△AFO都是等邊三角形，
∴∠AFO=∠C=60°，
∴OF∥CD，
∵OD∥AC，
∴四邊形BCFO是平行四邊形，
∵OB=OF，
∴四邊形BCFO是菱形，
∴∠C=∠FOD=60°，
OD=DC=CF，
∵DE⊥AC，
∴DC=2CE=4=OD=CF，
∴DE=

CD2-CE2

=2

3

，
∴S=S_{四邊形BCFO}-S_扇形DOF=CF•DE-

nπr2

360

=4×2

3

-

60π×42

360

=8

3

-

8

3

π．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，圓周角的性質(zhì)，等邊三角形的判定，菱形的判定以及扇形的面積等，作出輔助線是本題的關鍵．