Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，點A、B、C在坐標(biāo)軸上，點C的坐標(biāo)為（0，2），點D在射線AB上運動，過點D作PD⊥AB，交直線AC于點P，作過點A關(guān)于PD的對稱點A′，連接PA′，點D的運動速度為每秒

3

個單位，運動時間為t秒．
（1）求線段AB的長度；
（2）設(shè)△PAA′與△ABC的重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點D在運動過程中，連接A′C和BP交于點E，當(dāng)A′C垂直平分BP，求t的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：先求出AO、BO，即可得到AB的長度；根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行解答；畫出圖形來解答最后一問．

解答：解：（1）∵∠AOC=90°，∠CAB=30°，CO=2，
∴AO=

CO

tan∠CAB

=

2

tan30°

=2

3

，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCB=30°，
∴OB=CO•tan∠OCB=2×tan30°=

2 3

3

，
∴AB=AO+OB=2

3

+

2 3

3

=

8 3

3

；
（2）由題意得AD=

3

t，AA'=2

3

t，
∴PD=AD•tan∠CAB=

3

t•

3

3

=t，
∴S=

1

2

×AA′×PD=

1

2

×2

3

t×t=

3

t2  （t≤2）；
（3）如圖，由題意得PA'=BA'，
易知PA'=2t，
∴A'B=2t，
∵A'B=AB-AA'，
∴

8 3

3

-2

3

t=2t，
解得t=

6-2 3

3

．

點評：該題目考查了一次函數(shù)的綜合運用，關(guān)鍵是靈活利用圖形來進(jìn)行分析和解答，難點是三角函數(shù)的運用．