Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．

（1）求證：四邊形EFDG是菱形；

（2）若AG=7、GF=3，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接DE交AF于H，先根據(jù)DF=EG，DF∥EG，判定四邊形DFEG是平行四邊形，再根據(jù)GF⊥DE，即可得出四邊形EFDG是菱形；

（2）根據(jù)條件得到FH=GF=，AF=10，再根據(jù)Rt△ADF中，DH⊥AF，運(yùn)用射影定理即可得到DF2=FH×FA，進(jìn)而得出DF的長(zhǎng)．

試題解析： (1)如圖，連接DE交AF于H，

由折疊可得，AF⊥DE，DF=EF，∠DFG=∠EFG，

∵EG∥CD，

∴∠DFG=∠EGF，

∴∠EFG=∠EGF，

∴EG=EF，

∴DF=EG，

∵DF∥EG，

∴四邊形DFEG是平行四邊形，

∵GF⊥DE，

∴四邊形EFDG是菱形；

(2)∵四邊形EFDG是菱形，

∴FH=GF=，

∵AG=7，GF=3，

∴AF=10，

∵Rt△ADF中，DH⊥AF，

∴DF2=FH×FA，

即DF==.