Question

問題背景：
若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值．我們可以設(shè)矩形的一邊長為x，面積為s，則s與x的函數(shù)關(guān)系式為：s=-x2+

1

2

x（x＞0），利用函數(shù)的圖象或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值．
提出新問題：
若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（�。┲凳嵌嗌伲�
分析問題：
若設(shè)該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2(x+

1

x

)（x＞0），問題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大（�。┲盗耍�
解決問題：
借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探索函數(shù)y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值．
（1）實(shí)踐操作：填寫下表，并用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=2(x+

1

x

)（x＞0）的圖象：

x	…	1/4	1/3	1/2	1	2	3	4	…
y	…	17 2	20 3	5	4	5	20 3	17 2	…

（2）觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖象，猜想當(dāng)x=______時(shí)，函數(shù)y=2(x+

1

x

)（x＞0）有最______值（填“大”或“小”），是______．
（3）推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數(shù)s=-x2+

1

2

x（x＞0）的最大值，請(qǐng)你嘗試通過配方求函數(shù)y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值，以證明你的猜想．〔提示：當(dāng)x＞0時(shí)，x=(

x

)2〕

Answer 1

（1）當(dāng)x=

1

4

時(shí)，y=2×（

1

4

+4）=

17

2

，
當(dāng)x=

1

3

時(shí)，y=2×（

1

3

+3）=

20

3

，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=2×（

1

2

+2）=5，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2×（1+1）=4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=2×（2+

1

2

）=5，
當(dāng)x=3時(shí)，y=2×（3+

1

3

）=

20

3

，
當(dāng)x=4時(shí)，y=2×（4+

1

4

）=

17

2

．
函數(shù)圖象如右圖：

（2）由（1）的計(jì)算結(jié)果和函數(shù)圖象知：當(dāng)x=1時(shí)，y=2（x+

1

x

）有最小值，且最小值為4．

（3）證明：∵x＞0，且x=（

x

）²，
∴y=2（x+

1

x

）=2[（

x

）²-2+（

1

x

）²]+4=2（

x

-

1

x

）²+4；
∴當(dāng)

x

=

1

x

，即x=1時(shí)，函數(shù)y=2（x+

1

x

）有最小值，且最小值為4．