Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是CD上一點(diǎn)，BF交半圓于F．求證：BC²=BE•BF．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連結(jié)AC，AF，如圖，先根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ACB=∠AFB=90°，則根據(jù)相似三角形的判定得到Rt△BCD∽Rt△BAC，Rt△BDE∽Rt△△BFA，
再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得BC：AB=BD：BC，BE：BA=BD：BF，然后化成等積式后易得BC²=BE•BF．

解答：證明：連結(jié)AC，AF，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠AFB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠CBD=∠ABC，
∴Rt△BCD∽Rt△BAC，
∴BC：AB=BD：BC，
∴BC²=BD•BA，
∵∠EBD=∠ABF，
∴Rt△BDE∽Rt△△BFA，
∴BE：BA=BD：BF，
∴BE•BF=BD•BA，
∴BC²=BE•BF．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．