Question

如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的四條邊上，并且四邊形EFGH也是正方形，AB=4．
（1）AE長為多少時(shí)，正方形EFGH的面積最小，最小面積是多少？
（2）若AB=a呢？AE長為多少時(shí)，正方形EFGH的面積最小，最小面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),二次函數(shù)的最值,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得EH=HG，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AHE=∠DGH，然后利用“角角邊”證明△AHE和△DGH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DH=AE，然后表示出AH，再利用勾股定理列式求出EH²，即為正方形EFGH的面積，再利用二次函數(shù)的最值問題解答；
（2）將AB=4換成a，然后與（1）的求解方法相同．

解答：解：（1）∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH=GH，
∵∠AHE+∠DHG=∠DGH+∠DHG，
∴∠AHE=∠DGH，
在△AHE和△DGH中，

∠AHE=∠DGH ∠A=∠D=90° EH=HG

，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DH=AE，
設(shè)AE=x，
∵正方形ABCD的邊長AB=4，
∴AH=4-x，
由勾股定理列式求出EH²=AE²+AH²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16=2（x-2）²+8，
即正方形EFGH的面積=2（x-2）²+8，
所以，當(dāng)x=2，即AE=2時(shí)，正方形EFGH的面積最小，最小面積是8；

（2）由（1）可知，正方形EFGH的面積=x²+（a-x）²=2x²-2ax+a²=2（x-

1

2

a）²+

1

2

a²，
所以，當(dāng)x=

1

2

a，即AE=

1

2

a時(shí)，正方形EFGH的面積最小，最小面積是

1

2

a²．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握各性質(zhì)并用AE的長度表示出正方形EFGH的面積是解題的關(guān)鍵．