Question

如圖，直角梯形ABCD，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60°．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊△ADF，點E是直角梯形ABCD內一點，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．
（1）求證：EB=EF；
（2）猜想四邊形ABEF是哪一種特殊四邊形并證明；
（3）若EF=6，求直角梯形ABCD的面積．

Answer 1

考點：直角梯形,全等三角形的判定與性質,菱形的判定與性質

專題：

分析：（1）由三角形ADF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到AF=AD，∠FAD=60°，再由∠FAD+∠EAD求出∠EAF的度數(shù)，由∠DAB-∠EAD求出∠BAE的度數(shù)，得到∠FAE=∠BAE，再由AB=AD，等量代換得到AF=AB，再由AE為公共邊，利用SAS可得出△AEF與△AEB全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=EB，得證；
（2）由FD=FA，DE=AE，以及公共邊FE，利用SSS可得出△DEF與△AEF全等，進而得出FA=EF，則FA=EF=AB=BE，即可得出答案；
（3）由全等三角形的性質及等邊三角形的性質得到∠DFE=∠AFE=30°，求出∠DEF為75°，在由∠FAE+∠EAD求出∠FAE為75°，可得出∠FAE=∠FEA，利用等角對等邊得到FE=AF，可得出等邊三角形AFD三邊長為6，過C作CM垂直于AB，可得出CM=6，由∠ABC為60°，在直角三角形BCM中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出BM的長，由AB-BM求出AM的長，即為DC的長，利用梯形的面積公式即可求出梯形ABCD的面積．

解答：（1）證明：∵△ADF為等邊三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°，
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，
∴∠FAE=∠FAD+∠EAD=75°，∠BAE=∠DAB-∠EAD=75°，
∴∠FAE=∠BAE，
又∵AD=AB，
∴AB=AF，
在△FAE和△BAE中，

FA=BA ∠FAE=∠BAE=75° AE=AE

，
∴△FAE≌△BAE（SAS），
∴EF=EB；

（2）解：四邊形ABEF是菱形，
理由：∵∠EAD=∠EDA=15°，
∴∠AED=150°，
在△FAE和△FDE中，

DF=FA EF=EF DE=AE

，
∴△FAE≌△FDE（SSS），
∴∠FEA=75°，
∴∠FAE=∠FEA，
∴FA=EF，
則FA=EF=AB=BE，
∴四邊形ABEF是菱形；

（3）解：∵△FAE≌△FDE，
∴∠DFE=∠AFE=

1

2

×60°=30°，∠DEF=∠AEF=

1

2

×150°=75°，
又∵∠FAE=60°+15°=75°，
∴∠AEF=∠FAE，
又∵EF=6，
∴AF=EF=6，AB=AD=AF=6，
過C作CM⊥AB于M，可得CM=AD=6，
∵tan∠ABC=

CM

BM

，∠ABC=60°，
∴BM=

CM

tan60°

=

6

3

=2

3

，
∴CD=AM=AB-BM=6-2

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×[（6-2

3

）+6]×6=36-6

3

．

點評：此題考查了直角梯形、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、銳角三角函數(shù)定義以及梯形的面積公式等知識，得出△FAE≌△BAE是解題關鍵．