Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD中點(diǎn)，連結(jié)OE．過點(diǎn)C作CF∥BD交線段OE的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)DF．求證：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四邊形ODFC是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ODE=∠FCE，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CE=DE，然后利用“角邊角”證明△ODE和△FCE全等；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OD=FC，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ODFC是平行四邊形，根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OC=OD，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．

解答：證明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE，
∵E是CD中點(diǎn)，
∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，

∠ODE=∠FCE CE=DE ∠DEO=∠CEF

，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD=FC，
∵CF∥BD，
∴四邊形ODFC是平行四邊形，
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四邊形ODFC是菱形．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，熟記各性質(zhì)與平行四邊形和菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．