Question

在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“夢(mèng)之點(diǎn)”，例如點(diǎn)（-1，-1），（0，0），（

2

，

2

），…都是“夢(mèng)之點(diǎn)”，顯然，這樣的“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)．
（1）若點(diǎn)P（2，m）是反比例函數(shù)y=

n

x

（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)y=3kx+s-1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且滿足-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，令t=b²-2b+

157

48

，試求出t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題,壓軸題,新定義

分析：（1）先由“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義得出m=2，再將點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=

n

x

，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）假設(shè)函數(shù)y=3kx+s-1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”（x，x），則有x=3kx+s-1，整理得（3k-1）x=1-s，再分三種情況進(jìn)行討論即可；
（3）先將A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）代入y=ax²+bx+1，得到ax₁²+（b-1）x₁+1=0，ax₂²+（b-1）x₂+1=0，根據(jù)方程的解的定義可知x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b-1）x+1=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=

1-b

a

，x₁•x₂=

1

a

，則（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

b2-2b+1-4a

a2

=4，整理得出b²-2b=（2a+1）²-2，則t=b²-2b+

157

48

=（2a+1）²+

61

48

．再由-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，得出-4＜x₂＜4，-8＜x₁•x₂＜8，即-8＜

1

a

＜8，又a＞0，解不等式組得出a＞

1

8

，進(jìn)而求出t的取值范圍．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P（2，m）是“夢(mèng)之點(diǎn)”，
∴m=2，
∵點(diǎn)P（2，2）在反比例函數(shù)y=

n

x

（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上，
∴n=2×2=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

；

（2）假設(shè)函數(shù)y=3kx+s-1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”（x，x），
則有x=3kx+s-1，
整理，得（3k-1）x=1-s，
當(dāng)3k-1≠0，即k≠

1

3

時(shí)，解得x=

1-s

3k-1

；
當(dāng)3k-1=0，1-s=0，即k=

1

3

，s=1時(shí)，x有無(wú)窮多解；
當(dāng)3k-1=0，1-s≠0，即k=

1

3

，s≠1時(shí)，x無(wú)解；
綜上所述，當(dāng)k≠

1

3

時(shí)，“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)為（

1-s

3k-1

，

1-s

3k-1

）；當(dāng)k=

1

3

，s=1時(shí)，“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)；當(dāng)k=

1

3

，s≠1時(shí)，不存在“夢(mèng)之點(diǎn)”；

（3）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
∴x₁=ax₁²+bx₁+1，x₂=ax₂²+bx₂+1，
∴ax₁²+（b-1）x₁+1=0，ax₂²+（b-1）x₂+1=0，
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b-1）x+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根，
∴x₁+x₂=

1-b

a

，x₁•x₂=

1

a

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（

1-b

a

）²-4•

1

a

=

b2-2b+1-4a

a2

=4，
∴b²-2b=4a²+4a-1=（2a+1）²-2，
∴t=b²-2b+

157

48

=（2a+1）²-2+

157

48

=（2a+1）²+

61

48

．
∵-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，
∴-4＜x₂＜0或0＜x₂＜4，
∴-4＜x₂＜4，
∴-8＜x₁•x₂＜8，
∴-8＜

1

a

＜8，
∵a＞0，
∴a＞

1

8

∴（2a+1）²+

61

48

＞

25

16

+

61

48

=

17

6

，
∴t＞

17

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，形如ax=b的方程的解的情況，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，不等式的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．