Question

反比例函數(shù)y=

k

x

上有A（1，n）和B（-n，

n

2

）兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸上運(yùn)動(dòng)，已知m=|PA-PB|．
（1）求雙曲線y=

k

x

的解析式；
（2）當(dāng)m最小時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)m最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得k=1•n=-n•

n

2

，解得n₁=0，n=-2，由于-n≠0，則n=-2，所以k=-2，得到反比例函數(shù)解析式為y=-

2

x

；
（2）當(dāng)PA=PB時(shí)，m最小，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得到（x-1）²+2²=（x-2）²+1²，解得x=0，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；
（3）由于|PA-PB|≤AB，所以當(dāng)P點(diǎn)為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，m最大，再利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式為y=x-3，然后求直線y=x-3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得1•n=-n•

n

2

，解得n₁=0，n=-2，
∵-n≠0，
∴n=-2，
∴k=1×（-2）=-2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

2

x

；
（2）當(dāng)PA=PB時(shí)，m=|PA-PB|=0，
∴（x-1）²+2²=（x-2）²+1²，解得x=0，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；
（3）∵|PA-PB|≤AB，
∴當(dāng)P點(diǎn)為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，m最大，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（1，-2）、B（2，-1）代入得

k+b=-2 2k+b=-1

，解得

k=1 b=-3

，
∴直線AB的解析式為y=x-3，
把y=0代入y=x-3得x-3=0，解得x=3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=

k

x

（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．