Question

【題目】如圖，在△中，∠，點是邊上一點，以為直徑的⊙與邊相切于點，與邊交于點，過點作⊥于點，連接．

（1）求證：；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】分析：（1）連接OE．由切線的性質(zhì)得到OE⊥AC，從而有OE∥BC，由平行線的性質(zhì)得到∠OEB=∠CBE．再由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OEB=∠OBE，即有∠OBE=∠CBE，由角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）解Rt△ABC得到AB的長．再由OE∥BC，得到△AEO∽△ACB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例，得到OB的長，進而可得出結(jié)論．

詳解：（1）連接OE．

∵⊙O與邊AC相切，∴OE⊥AC．

∵∠C=90°，∴OE∥BC，∴∠OEB=∠CBE．

∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE，∴∠OBE=∠CBE．

∵EH⊥AB，∴EH=EC．

（2）在Rt△中，，∴．

∵∥，∴△AEO∽△ACB，

∴，即．

解得： ，

∴．