Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD頂點(diǎn)C（3，0），頂點(diǎn)D（0，4），過點(diǎn)A作AF⊥y軸于F點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的垂線交過A點(diǎn)的反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象于E點(diǎn)，交x軸于G點(diǎn)．

（1）求證：△CDO≌△DAF．

（2）求反比例函數(shù)解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，過點(diǎn)C作直線l∥AE，在直線l上是否存在一點(diǎn)P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)，不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）為y＝，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，4）；（3）在直線l上存在一點(diǎn)P使△PAC是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．

【解析】

（1）利用同角的余角相等可得出∠CDO＝∠DAF，結(jié)合∠DOC＝∠AFD＝90°及DC＝AD，可證出△CDO≌△DAF；

（2）利用全等三角形的性質(zhì)可求出AF，FD的長，進(jìn)而可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出反比例函數(shù)解析式，同（1）可證出△CDO≌△BCG，利用全等三角形的性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）由點(diǎn)A，E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AE的解析式，結(jié)合直線l∥AE及點(diǎn)C的坐標(biāo)可求出直線l的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），結(jié)合點(diǎn)A，C的坐標(biāo)可得出AC2，AP2，CP2的值，分AC＝AP，CA＝CP及PA＝PC三種情況可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠ADF+∠CDO＝90°．

∵∠ADF+∠DAF＝90°，

∴∠CDO＝∠DAF．

在△CDO和△DAF中，

，

∴△CDO和△DAF（AAS）．

（2）解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），

∴OC＝3，OD＝4．

∵△CDO和△DAF，

∴FA＝OD＝4，FD＝OC＝3，

∴OF＝OD+FD＝7，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，7）．

∵反比例函數(shù)y＝（k＞0）過點(diǎn)A，

∴k＝4×7＝28，

∴反比例函數(shù)解析式為y＝．

同（1）可證出：△CDO≌△BCG，

∴GB＝OC＝3，GC＝OD＝4，

∴OG＝OC+GC＝7，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（7，0）．

當(dāng)x＝7時(shí)，y＝＝4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，4）．

（3）解：設(shè)直線AE的解析式為y＝ax+b（a≠0），

將A（4，7），E（7，4）代入y＝ax+b，得：，

解得：，

∴直線AE的解析式為y＝﹣x+11．

∵直線l∥AE，且直線l過點(diǎn)C（3，0），

∴直線l的解析式為y＝﹣x+3．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，7），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），

∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m+3﹣7）2＝2m2+32，AC2＝（3﹣4）2+（0﹣7）2＝50，CP2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣12m+18．

分三種情況考慮：

①當(dāng)AC＝AP時(shí)，50＝2m2+32，

解得：m1＝3（舍去），m2＝﹣3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，6）；

②當(dāng)CA＝CP時(shí)，50＝2m2﹣12m+18，

解得：m3＝﹣2，m4＝8，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，5）或（8，﹣5）；

③當(dāng)PA＝PC時(shí)，2m2+32＝2m2﹣12m+18，

解得：m＝﹣，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）．

綜上所述：在直線l上存在一點(diǎn)P使△PAC是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．