【題目】閱讀理解

1)如圖1,在中,,,,邊上的點,且,若,求的長.

思考如下:注意到條件中有,,不妨把繞點順時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,易證,從而將線段,集中在了中,因為的度數(shù)是________;所以的長為 ;

類比探究

2)如圖2,在中,,,,邊上的點,且,,,求的長;

拓展應(yīng)用

3)如圖3,是正方形內(nèi)一點,邊上一點,且,若,請直接寫出當(dāng)取最小值時的長.

【答案】(1);(2;(3

【解析】

1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ACE≌△ABFADEADF,得∠ABF=ACE=30°, DE=DF,再證明BDF是直角三角形,運用勾股定理求出DF的長即可得到結(jié)論;

2)將繞點逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,CF, 過點的延長線于點,方法同(1)證明,求出FGCG的長,再運用勾股定理即可EF的長,從而得到結(jié)論;

3)將繞點順時針旋轉(zhuǎn),得到的中點連接取最小值時,點上,方法同(2)可證明OF=OG,在真的三角形BOF中運用勾股定理可求出結(jié)論.

1)∵AB=AC,∠BAC=120°

∴∠ABC=ACB=30°

繞點順時針旋轉(zhuǎn),得到,

∴△ABF≌△ACE

∴∠ABF=ACE=30°

∴∠FBD=60°

連接,

∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,

∴∠BAD+CAE=60°

∵∠BAF=CAE

∴∠BAF+BAD=60°,即∠DAF=60°

∴∠DAF=DAE

AF=AE,AD=AD,

∴△DAF≌△DAE,

DF=DE

BD=1,BF=CE=2,且∠FBD=60°

∴∠BFD=30°,

∴∠BDF=90°

DE=

故答案為:60;;

2)∵,

是等邊三角形,

,

如圖2 ,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn),得到連接

.

.

如圖2,過點的延長線于點.

中,

中,

.

3)如圖3,將繞點順時針旋轉(zhuǎn),得到

的中點連接.

因為,

所以取最小值時,點

類比,得.

設(shè)的長為

.

所以,

解得

.

練習(xí)冊系列答案
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根據(jù)以上信息,整理分析數(shù)據(jù)如下:


1)寫出表格中的值;

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C.D.

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(Ⅰ)如圖①,求的長及的值;

(Ⅱ)如圖②,正方形固定,將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn),得正方形,記旋轉(zhuǎn)角為(0°<<360°),連接

旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)90°時,求的大;

②在旋轉(zhuǎn)過程中,求的長取最大值時,點的坐標(biāo)及此時的大。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可)

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1)若,直接寫出的大。ㄓ煤的式子表示).

2)求證:.

3)連接CF,用等式表示線段AF,BFCF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

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