Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，在AB的兩側(cè)有定點C和動點P，AB=5，AC=3．點P在

AB

上運動（點P不與A，B重合），CP交AB于點D，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．
（1）求∠P的正切值；
（2）當CP⊥AB時，求CD和CQ的長；
（3）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出BC的長，再根據(jù)圓周角定理得出∠A=∠P，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
（2）三角形的面積公式求出∠A的正切值，故可得出CD的長，再由垂徑定理求出PC的長，由（1）中∠P的正切值即可得出CQ的長；
（3）由相似三角形的性質(zhì)可得出△ABC∽△PQC，故可得出

AC

BC

=

PC

CQ

，故可得出CQ=

BC•PC

AC

=

4

3

PC，故當PC是⊙O的直徑時CQ取得最大值，再把AB的長代入進行計算即可．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，AC=3，
∴BC=

AB2-AC2

=

52-32

=4，
∴tan∠A=

BC

AC

=

4

3

，
∵∠A與∠P是同弧所對的圓周角，
∴tan∠P=tan∠A=

4

3

；

（2）∵Rt△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，CD⊥AB，
∴CD=

AC•BC

AB

=

3×4

5

=

12

5

，
∵AB⊥CD，
∴PC=2CD=2×

12

5

=

24

5

，
∴CQ=PC•tan∠P=

24

5

×

4

3

=

32

5

；

（3）∵PC⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠A=∠P，
∴△ABC∽△PQC，
∴

AC

BC

=

PC

CQ

，
∴CQ=

BC•PC

AC

=

4

3

PC，
∴當PC是⊙O的直徑時CQ最長，
∴CQ_最長=

4

3

×5=

20

3

．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及圓周角定理等知識，難度適中．