Question

當(dāng)拋物線的解析式中含有字母系數(shù)時(shí)，隨著系數(shù)中字母取值的不同，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)也將發(fā)生變化．例如：由拋物線y=x²-2mx+m²+2m-1…（1）

x0=m  (3) y0=2m-1(4)

得：y=（x-m）²+2m-1…（2）
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m-1），設(shè)頂點(diǎn)為P（x₀，y₀），
則：當(dāng)m的值變化時(shí)，頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)x₀，y₀的值也隨之變化，將（3）代入（4）
得：y₀=2x₀-1．…（5）
可見，不論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)都滿足y=2x-1．
（1）根據(jù)閱讀材料提供的方法，確定拋物線y=x²-2mx+2m²-4m+3的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使拋物線y=x²-2mx+2m²-4m+3與x軸兩交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）之間的距離為AB=4？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)材料給的方法：先配成y=（x-m）²+2m²-4m+2，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后消去m，得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2m，x₁•x₂=2m²-4m+3，然后利用AB=|x₁-x₂|，通過變形得到AB=

-4(m-2)2

，即可得到AB的最大值為2，由此得到不存在實(shí)數(shù)m，使AB=4．

解答：解：（1）∵y=x²-2mx+2m²-4m+3=（x-m）²+2m²-4m+2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m²-4m+2），設(shè)頂點(diǎn)為P（x₀，y₀），則：

x0=m y0=2m2-4m+2

，
當(dāng)m的值變化時(shí)，頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)x₀，y₀的值也隨之變化，
∴y₀=2x₀²-4x₀+2，
可見，不論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)都滿足y=2x²-4x+2；

（2）不存在．理由如下：
∵拋物線y=x²-2mx+2m²-4m+3與x軸兩交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x²-2mx+2m²-4m+3=0的兩個(gè)根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=2m²-4m+3，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2m)2-4(2m2-4m+3)

=

-4(m-2)2

，
∴AB的最大值為2，
∴不存在實(shí)數(shù)m，使AB=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題：拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）²+k（a≠0），則頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）；拋物線與x軸兩交點(diǎn)的距離．也考查了代數(shù)式的變形能力．