Question

如圖，在銳角三角形紙片ABC中，AC＞BC，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．
①判斷
四邊形DECF一定是什么形狀？
②裁剪
當AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°時，請你探索：如何剪四邊形DECF，能使它的面積最大，并證明你的結論；
（2）折疊
請你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點D，E，C，F(xiàn)，使它恰好為菱形，并說明你的折法和理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,二次函數(shù)的最值,菱形的判定,相似三角形的判定與性質

專題：壓軸題,探究型

分析：（1）①根據有兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形即可求得，②根據△ADF∽△ABC推出對應邊的相似比，然后進行轉換，即可得出高h與x之間的函數(shù)關系式，根據平行四邊形的面積公式，很容易得出面積S關于h的二次函數(shù)表達式，求出頂點坐標，就可得出面積s最大時h的值．
（2）第一步BC邊向AC邊折疊，使BC與AC重合，得到折痕交AB于D（CD為∠ACB對角線）；第二步C點向AB邊折疊，使C點與D點重合，得到折痕交BC邊于E，交AC邊于F；通過上述兩次折疊，得到點：DECF，組成的四邊形為菱形．

解答：解：（1）如圖1，①∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四邊形DECF是平行四邊形．
②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，
∵∠ACB=45°，AC=24cm
∴AG=

1 2 ×AC2

=12

2

cm，
設DF=EC=x，平行四邊形的高為h，
則AH=12

2

-h，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴

DF

BC

=

12 2 -h

12 2

，
∵BC=20cm，
即：

x

20

=

12 2 -h

12 2

∴x=

12 2 -h

12 2

×20，
∵S=xh=x•

12 2 -h

12 2

×20h=20h-

5 2

6

h²．
∴h=-

b

2a

=-

20

-2× 5 2 6

=6

2

，
∵AG=12

2

cm，
∴AF=FC，
∴在AC中點處剪四邊形DECF，能使它的面積最大．


（2）①BC邊向AC邊折疊，使BC與AC重合，得到折痕交AB于D（CD為∠ACB的角平分線）；
②C點向AB邊折疊，使C點與D點重合，得到折痕交BC邊于E，交AC邊于F；
通過上述兩次折疊，得到點：DECF，組成的四邊形為菱形．
理由：∵CD和EF是四邊形DECF對角線，而CD和EF互相垂直且平分，
∴四邊形DECF是菱形．

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質、菱形的判定、二次函數(shù)的最值．關鍵在于根據相似三角形及已知條件求出相關線段的表達式，求出二次函數(shù)表達式，即可求出結論．