Question

問題：如圖（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，試探究AD、DE、EB滿足的等量關系．

[探究發(fā)現]

小聰同學利用圖形變換，將△CAD繞點C逆時針旋轉90°得到△CBH，連接EH，由已知條件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．

根據“邊角邊”，可證△CEH≌　 　，得EH=ED．

在Rt△HBE中，由　 　定理，可得BH²+EB²=EH²，由BH=AD，可得AD、DE、EB之間的等量關系是　 　．

[實踐運用]

（1）如圖（2），在正方形ABCD中，△AEF的頂點E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數；

（2）在（1）條件下，連接BD，分別交AE、AF于點M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，運用小聰同學探究的結論，求正方形的邊長及MN的長．

Answer 1

       解：根據“邊角邊”，可證△CEH≌△CDE，得EH=ED．

在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH²+EB²=EH²，由BH=AD，可得AD、DE、EB之間的等量關系是AD²+EB²=DE²；故答案為：△CDE；勾股；AD²+EB²=DE²；

（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），

∴∠BAE=∠GAE，

同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，

∴∠GAF=∠DAF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴∠EAF=∠BAD=45°；

（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，

∴BE=EG=2，DF=FG=3，則EF=5，

設AG=x，則CE=x﹣2，CF=x﹣3，

∵CE²+CF²=EF²，

∴（x﹣2）²+（x﹣3）²=5²，

解這個方程，得x₁=6，x₂=﹣1（舍去），

∴AG=6，

∴BD=，

∴AB=6，

∵MN²=MB²+ND²

設MN=a，則，

所以a=，

即MN=．