Question

已知如圖1，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，線段CB、DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)A在平行于BE的直線AD上，過點(diǎn)C作CM⊥AD于M．
（1）當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)D的左側(cè)時，求證：CM=AD；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)D的右側(cè)時，點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)落在直線AD的G點(diǎn)處，當(dāng)CF=13時，求線段GF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理證明一對三角形全等，即可解決問題．
（2）通過證明一對三角形全等得到兩個角相等，進(jìn)而證明四點(diǎn)共圓；借助圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，∵△ABC，△BDE均是等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=∠DBE=90°；
又∵AD∥BE，CM⊥AD，
∴∠ADB+∠DBE=180°，∠AMC=90°，
∴∠ADB=180°-90°=90°，
故∠ADB=∠AMC=90°；
∵∠CAB=90°，
∴∠MCA+∠CAM=∠DAB+∠CAB=90°，
∴∠MCA=∠DAB；
在△MCA與△DAB中，

∠MCA=∠DAB ∠CMA=∠ADB AC=AB

，
∴△MCA≌△DAB（AAS），
∴CM=AD．

（2）如圖2，連接BG、EG、CG；
∵CM⊥AM，∠CAB=90°，
∴∠MCA+∠MAC=∠MAC+∠DAB=90°，
∴∠MCA=∠DAB；
在△MCA與△DAB中，

∠MCA=∠DAB ∠CMA=∠ADB AC=AB

，
∴△MCA≌△DAB（AAS），
∴∠CAG=∠ABD；
∵B、G兩點(diǎn)關(guān)于DE對稱，
∴DG=DB，EB=EG；
而EB=DB，
∴DG=DB=EB=EG，
而∠DBE=90°，
∴四邊形BDGE為正方形，∠DBG=45°，
而∠ABC=45°，
∴∠CBG=∠ABD，
而∠CAG=∠ABD，
∴∠CBG=∠CAG，
故A、B、G、C四點(diǎn)共圓；
∵∠CAB=90°，
∴∠BGC=180°-90°=90°；
∵B、G兩點(diǎn)關(guān)于DE對稱，
∴FG=FB，
∴∠FGB=∠FBG；
而∠FBG+∠FCG=∠FGB+∠FGC=90°，
∴∠FCG=∠FGC，
故GF=CF，
而CF=13，
∴GF=13．

點(diǎn)評：該題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；同時，還滲透了對四點(diǎn)共圓的判定、正方形的性質(zhì)等幾何知識的考查；對分析問題解決問題的能力提出了更高的要求．