Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于D，∠ABC的平分線交直線AD于I．
（1）寫出∠BID與∠C的關(guān)系，并證明；
（2）若∠ABC的外角平分線交直線AD于I，其余條件不變，則∠BID與∠ACB有何關(guān)系？試證明．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠BAI=

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∠BAC，∠ABI=

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2

∠ABC，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠BID=∠BAI+∠ABI=

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2

（∠ABC+∠ABC），再利用三角形內(nèi)角和定理易得∠BID=90°-

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2

∠C；
（2）如圖，利用角平分線的定義得到∠BAI=

1

2

∠BAC，∠EBI=

1

2

∠EBC，再利用三角形外角性質(zhì)得∠EBC=∠BID+∠BAI，∠EBC=∠BAC+∠C，然后利用等式的性質(zhì)即可得到∠BID=

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2

∠C．

解答：解：（1）∠BID=90°-

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2

∠C．理由如下：
∵IA平分∠BAC，IB平分∠ABC，
∴∠BAI=

1

2

∠BAC，∠ABI=

1

2

∠ABC，
∴∠BID=∠BAI+∠ABI=

1

2

（∠ABC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠C）=90°-

1

2

∠C；

（2）∠BID=

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2

∠ACB．理由如下：
如圖，∵IA平分∠BAC，IB平分∠EBC，
∴∠BAI=

1

2

∠BAC，∠EBI=

1

2

∠EBC，
∵∠EBC=∠BID+∠BAI，
∠EBC=∠BAC+∠C，
∴2∠BID+2∠BAI=∠BAC+∠C，
∴∠BID=

1

2

∠C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)．