【題目】如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE,已知∠ABC=60°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF.
(1)求證:△ABC≌△EAF;
(2)試判斷四邊形EFDA的形狀,并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)證明:∵△ABE是等邊三角形,EF⊥AB,
∴∠EAF=60°,AE=BE,∠EFA=90°.
又∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠EFA=∠ACB,∠EAF=∠ABC.
在△ABC和△EAF中 ,
∴△ABC≌△EAF.
(2)解:結(jié)論:四邊形EFDA是平行四邊形.
理由:∵△ABC≌△EAF,
∴EF=AC.
∵△ACD是的等邊三角形,
∴AC=AD,∠CAD=60°,
∴AD=EF.
又∵Rt△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=30°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,
∴∠EFA=∠BAD=90°,
∴EF∥AD.
又∵EF=AD,
∴四邊形EFDA是平行四邊形
【解析】(1)由△ABE是等邊三角形可知:AE=BE,∠EAF=60°,于是可得到∠EFA=∠ACB,∠EAF=∠ABC,接下來依據(jù)AAS證明△ABC≌△EAF即可;(2)由△ABC≌△EAF可得到EF=AC,由△ACD是的等邊三角形進(jìn)而可證明AC=AD,然互再證明∠BAD=90°,可證明EF∥AD,故此可得到四邊形EFDA為平行四邊形.本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì),證得∠EFA=∠BAD=90°是解題的關(guān)鍵.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解等邊三角形的性質(zhì)(等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,點(diǎn)P、Q分別是邊AB、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B、C不重合),且始終保持BP=BQ,AQ⊥QE,QE交正方形外角平分線CE于點(diǎn)E,AE交CD于點(diǎn)F,連結(jié)PQ.
(1)求證:△APQ≌△QCE;
(2)求∠QAE的度數(shù);
(3)設(shè)BQ=x,當(dāng)x為何值時(shí),QF∥CE,并求出此時(shí)△AQF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn),且BE=BC,AB=3,BC=4,點(diǎn)P為直線EC上的一點(diǎn),且PQ⊥BC于點(diǎn)Q,PR⊥BD于點(diǎn)R.
(1)①如圖1,當(dāng)點(diǎn)P為線段EC中點(diǎn)時(shí),易證:PR+PQ= (不需證明).②如圖2,當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)E、點(diǎn)C重合)時(shí),其它條件不變,則①中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí),其它條件不變,則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小剛家、公交車站、學(xué)校在一條筆直的公路旁(小剛家、學(xué)校到這條公路的距離忽略不計(jì))一天,小剛從家出發(fā)去上學(xué),沿這條公路步行到公交站恰好乘上一輛公交車,公交車沿這條公路勻速行駛,小剛下車時(shí)發(fā)現(xiàn)還有4分鐘上課,于是他沿著這條公路跑步趕到學(xué)校(上、下車時(shí)間忽略不計(jì)),小剛與學(xué)校的距離s(單位:米)與他所用的時(shí)間t(單位:分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.已知小剛從家出發(fā)7分鐘時(shí)與家的距離是1200米,從上公交車到他到達(dá)學(xué)校公用10分鐘.下列說法:
①公交車的速度為400米/分鐘;
②小剛從家出發(fā)5分鐘時(shí)乘上公交車;
③小剛下公交車后跑向?qū)W校的速度是100米/分鐘;
④小剛上課遲到了1分鐘.
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.4個(gè)
B.3個(gè)
C.2個(gè)
D.1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=2,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△DEC,則AE的長(zhǎng)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某射擊隊(duì)為從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一人參加全國(guó)比賽,對(duì)他們進(jìn)行了8次測(cè)試,測(cè)試成績(jī)(單位:環(huán))如下表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 第七次 | 第八次 | |
甲 | 10 | 8 | 9 | 8 | 10 | 9 | 10 | 8 |
乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 | 8 | 10 |
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),計(jì)算出甲的平均成績(jī)是 9 環(huán),乙的平均成績(jī)是 9 環(huán);
(2)分別計(jì)算甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員8次測(cè)試成績(jī)的方差;
(3)根據(jù)(1)(2)計(jì)算的結(jié)果,你認(rèn)為推薦誰參加全國(guó)比賽更合適,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平行四邊形的一邊長(zhǎng)是9cm,那么這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)可以是( )
A. 4cm和6cm B. 6cm和8cm C. 8cm和10cm D. 10cm和12cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在紀(jì)念中國(guó)抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利70周年之際,某公司決定組織員工觀看抗日戰(zhàn)爭(zhēng)題材的影片,門票有甲乙兩種,甲種票比乙種票每張貴6元;買甲種票10張,乙種票15張共用去660元.
(1)求甲、乙兩種門票每張各多少元?
(2)如果公司準(zhǔn)備購(gòu)買35張門票且購(gòu)票費(fèi)用不超過1000元,那么最多可購(gòu)買多少?gòu)埣追N票?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn),BC=BD=AD,則∠A的大小是( 。
A. 36° B. 54° C. 72° D. 30°
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