Question

如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=

4

5

，點P是邊BC上的動點，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點E、F（點F在點E的右側），射線CE與射線BA交于點G．

（1）當圓C經(jīng)過點A時，求CP的長；
（2）連接AP，當AP∥CG時，求弦EF的長；
（3）當△AGE是等腰三角形時，求圓C的半徑長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）當點A在⊙C上時，點E和點A重合，過點A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC進而得出答案；
（2）首先得出四邊形APCE是菱形，進而得出CM的長，進而利用銳角三角函數(shù)關系得出CP以及EF的長；
（3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，進而求出即可．

解答：解：（1）如圖1，設⊙O的半徑為r，
當點A在⊙C上時，點E和點A重合，過點A作AH⊥BC于H，
∴BH=AB•cosB=4，
∴AH=3，CH=4，
∴AC=

AH2+CH2

=5，
∴此時CP=r=5；

（2）如圖2，若AP∥CE，APCE為平行四邊形，
∵CE=CP，
∴四邊形APCE是菱形，
連接AC、EP，則AC⊥EP，
∴AM=CM=

5

2

，
由（1）知，AB=AC，則∠ACB=∠B，
∴CP=CE=

CM

cos∠ACB

=

25

8

，
∴EF=2

( 25 8 )2-32

=

7

4

；

（3）如圖3：過點C作CN⊥AD于點N，設AQ⊥BC，
∵

BQ

AB

=cosB，AB=5，
∴BQ=4，AN=QC=BC-BQ=4．
∵cosB=

4

5

，
∴∠B＜45°，
∵∠BCG＜90°，
∴∠BGC＞45°，
∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，
又∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，
∴當∠AEG=∠GAE時，A、E、G重合，則△AGE不存在．
即∠AEG≠∠GAE
∴只能∠AGE=∠AEG，
∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴

AE

CB

=

AG

BG

，即

AE

8

=

AE

AE+5

，
解得：AE=3，EN=AN-AE=1，
∴CE=

EN2+CN2

=

32+12

=

10

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理以及銳角三角函數(shù)關系等知識，利用分類討論得出△AGE是等腰三角形時只能∠AGE=∠AEG進而求出是解題關鍵．