【題目】點E為正方形ABCD邊BC上的一點,點G為BC延長線一點,連接AE,過點E作AE⊥EF,且AE=EF,連接CF.
(1)如圖1,求證:∠FCG=45°,
(2)如圖2,過點D作DH//EF交AB于點H,連接HE,求證:;
(3)如圖3,連接AF、DF,若AF交CD于點M,DM=2,BH=3,求DF的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)3.
【解析】
(1)過點F作FK⊥CG于點K,證出≌,得到BE=HF,再根據(jù)正四邊形的性質(zhì)得到BC=AB=EH,從而計算出EH-EC=BC-EC,即BE=CH,故CH=HF,再根據(jù)∠CHF=90°,求出∠FCG=45°;
(2)利用角邊角定理證明△DAH≌△ABE,從而得到AH=BE,然后利用勾股定理進行證明;
(3)過點A作AO⊥AM交BC延長線于點O,連接EM,證≌,≌,結(jié)合△DAH≌△ABE,證平行四邊形HEFD,從而得到DF=HE ,設(shè)AH=BE=x,OE=EM=2+x,CM=x+1,然后在Rt△ECM中,利用勾股定理列方程求解.
解:(1)過點F作FK⊥CG于點K,
∵AE⊥EF,
∴∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEK=90°,
又∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠FEK=∠EAB,
又∵∠B=∠EKF,
且AE=EF,
∴△ABE≌△EKF,
∴BE=KF,BC=AB=EK,
∴EK-EC=BC-EC,
∴BE=CK,
∴CK=KF.
∴∠FCK=∠CFK=
(2) ∵DH∥EF,AE⊥EF
∴AE⊥DH
∴∠EAD+∠ADH=90°
又∵正方形ABCD中,∠BAD=90°,AD=AB,∠DAB=∠B=90°
∴∠BAE+∠EAD=90°
∴∠BAE=∠ADH
∴△DAH≌△ABE
∴AH=BE
∵在Rt△BHE中,
∴
(3)過點A作AO⊥AM交BC延長線于點O,連接EM.
∵OA⊥AM,
∴∠OAM=90°
又因為正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°
∴∠OAM=∠BAD
∴∠OAM-∠BAM=∠BAD-∠BAM
∴∠OAB=∠MAD
∴≌
∴AO=AM
∵AE⊥EF,且AE=EF
∴∠EAM=45°
∴∠MAD+∠BAE=45°
∴∠OAB+∠BAE=45°
∴∠OAE=∠EAM
又∵AE=AE
∴≌
∴OE=EM
由(2)可知△DAH≌△ABE
∴DH=AE
∴DH=EF,且DH//EF
∴四邊形HEFD為平行四邊形,
∴DF=HE
設(shè)AH=BE=x,OE=EM=OB+DE=DM+BE2+x,CM=CD-DM=x+1,
∴在Rt△ECM中,,解得x=3
在Rt△BEH中,
∴DF=3.
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【題目】如圖1,把矩形放在平面直角坐標系中,邊在軸上,邊在軸上,連接,且,過點作平分交于點.動點在線段上運動,過作交于,過作交于.
(1)當時,在線段上有一動點,軸上有一動點,連接當周長最小時,求周長的最小值及此時點的坐標;
(2)如圖2,在(1)問的條件下,點是直線上的一個動點,問:在軸上是否存在點,使得是以為腰的等腰直角三角形?若存在,請直接寫出點及對應(yīng)的點的坐標,若沒有,請說明理由.
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每一個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫作格點,以格點為頂點分別按下列要求畫圖.
(1)畫出一個周長為24,面積為24的直角三角形;
(2)畫出一個周長為20,面積為24的菱形;
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),且k≠0)的圖象都經(jīng)過點A(m,2).
(1)求點A的坐標及反比例函數(shù)的表達式;
(2)設(shè)一次函數(shù)y=x+1的圖象與x軸交于點B,若點P是x軸上一點,且滿足△ABP的面積是2,直接寫出點P的坐標.
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【題目】在平面直角坐標系之中,點O為坐標原點,直線分別交x、y軸于點B、A,直線與直線交于點C.
(1)如圖1,求點C的坐標.
(2)如圖2,點P(t,0)為C點的右側(cè)x軸上一點,過點P作x軸垂線分別交AB、OC于點N、M,若MN=5NP,求t的值.
(3)如圖3,點F為平面內(nèi)任意一點,是否存在y軸正半軸上一點E,使點E、F、M、N圍成的四邊形為菱形,若存在求出點E坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與x軸交于點B,與y軸交于點A,與反比例函數(shù)y= 的圖象在第二象限交于點C,CE⊥x軸,垂足為點E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點D是反比例函數(shù)圖象在第四象限上的點,過點D作DF⊥y軸,垂足為點F,連接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO , 求點D的坐標.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k<0)的圖象經(jīng)過點C(3,0),且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3.
(1)求該一次函數(shù)的解析式;
(2)若反比例函數(shù)y=的圖象與該一次函數(shù)的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點,且AC=2BC,求m的值.
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【題目】某中學六七年級有350名同學去春游,已知2輛A型車和1輛B型車可以載學生100人;1輛A型車和2輛B型車可以載學生110人.
(1)A、B型車每輛可分別載學生多少人?
(2)若租一輛A需要100元,一輛B需120元,請你設(shè)計租車方案,使得恰好運送完學生并且租車費用最少.
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