Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點B，與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y= 的圖象在第二象限交于點C，CE⊥x軸，垂足為點E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點D是反比例函數(shù)圖象在第四象限上的點，過點D作DF⊥y軸，垂足為點F，連接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO ， 求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OB=4，OE=2，

∴BE=OB+OE=6．

∵CE⊥x軸，

∴∠CEB=90°．

在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，

∴CE=BEtan∠ABO=6× =3，

結(jié)合函數(shù)圖象可知點C的坐標(biāo)為（﹣2，3）．

∵點C在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴m=﹣2×3=﹣6，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣ ．

（2）

解：∵點D在反比例函數(shù)y=﹣ 第四象限的圖象上，

∴設(shè)點D的坐標(biāo)為（n，﹣ ）（n＞0）．

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，

∴OA=OBtan∠ABO=4× =2．

∵S△BAF= AFOB= （OA+OF）OB= （2+ ）×4=4+ ．

∵點D在反比例函數(shù)y=﹣ 第四象限的圖象上，

∴S△DFO= ×|﹣6|=3．

∵S△BAF=4S△DFO，

∴4+ =4×3，

解得：n= ，

經(jīng)驗證，n= 是分式方程4+ =4×3的解，

∴點D的坐標(biāo)為（ ，﹣4）．

【解析】本題考查了解直角三角形、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點C的坐標(biāo)；（2） 根據(jù)三角形的面積間的關(guān)系找出關(guān)于n的分式方程．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，找出點的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo) 特征求出反比例函數(shù)系數(shù)是關(guān)鍵．（1）由邊的關(guān)系可得出BE=6，通過解直角三角形可得出CE=3，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)點C的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可求出反比例函數(shù)系數(shù)m，由此即可得出結(jié)論；（2）由點D在反比例函數(shù)在第四象限的圖象上，設(shè)出點D的坐標(biāo)為（n，﹣ ）（n＞0）．通過解直角三角形求出線段OA的長度，再利用三角形的面積公式利用含n的代數(shù)式表示出S△BAF ， 根據(jù)點D在反比例函數(shù)圖形上利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出S△DFO的值，結(jié)合題意給出的兩三角形的面積間的關(guān)系即可得出關(guān)于n的分式方程，解方程，即可得出n值，從而得出點D的坐標(biāo)．
【考點精析】本題主要考查了比例系數(shù)k的幾何意義的相關(guān)知識點，需要掌握幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積才能正確解答此題．