Question

如圖所示，⊙O為△BCD的外接圓，BD=CD，CE為⊙O的直徑，過D作⊙O的切線交BE的延長線于A，BD交CE于F，若AD=4，BE=6，求CF的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：計算題

分析：連結(jié)DO交BC于G，連結(jié)DE，作BM⊥CE于M，DN⊥CE于N，如圖，由BD=CD得弧BD=弧DC，根據(jù)垂徑定理的推論得到DG⊥BC，BG=CG，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥AD，根據(jù)圓周角定理得∠CBE=90°，于是可判斷四邊形ADGB為矩形，BG=AD=4，得到BC=2BG=8，在Rt△CBE中，利用勾股定理計算出CE=10，利用面積法計算出BM=

24

5

；接著根據(jù)切割線定理可計算出AE=2，得到AB=AE+BE=8，則DG=AB=8，于是利用勾股定理可計算出DE=2

5

，BD=4

5

，所以CD=4

5

，再利用面積法計算出DN=4，然后利用S_△BCD=S_△BCF+S_△DCF和三角形面積公式可計算出CF．

解答：解：連結(jié)DO交BC于G，連結(jié)DE，作BM⊥CE于M，DN⊥CE于N，如圖，
∵BD=CD，
∴弧BD=弧DC，
∴DG⊥BC，
∴BG=CG，
∵DA為切線，
∴OD⊥AD，
∵CE為直徑，
∴∠CBE=90°，
∴四邊形ADGB為矩形，
∴BG=AD=4，
∴BC=2BG=8，
在Rt△CBE中，CE=

BE2+BC2

=10，
∵

1

2

BM•CE=

1

2

BC•BE，
∴BM=

6×8

10

=

24

5

，
∵AD²=AE•AB，
∴4²=AE（AE+6），解得AE=2，
∴AB=AE+BE=8，
∴DG=AB=8，
在Rt△ADE中，DE=

AE2+AD2

=2

5

，
在Rt△ADB中，BD=

AD2+AB2

=4

5

，
∴CD=4

5

，
∵

1

2

CD•DE=

1

2

DN•CE，
∴DN=

2 5 •4 5

10

=4，
∵S_△BCD=S_△BCF+S_△DCF，
即

1

2

BC•DG=

1

2

CF•BM+

1

2

CF•DN，
∴

24

5

CF+4CF=8•8，
∴CF=

80

11

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了三角形面積公式、圓周角定理、矩形的判定與性質(zhì)．