Question

如圖，AB是⊙O的直徑，動弦CD垂直AB于點E，過點B作直線BF∥CD交AD的延長線于點F，若AB=10cm．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若AD=8cm，求△DBC的面積；
（3）當(dāng)四邊形CBFD為平行四邊形時，過點A的直線把四邊形CBFD的面積兩等分，并交⊙O于另一點P，求AP的長度．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由CD⊥AB，BF∥CD可證得BF⊥AB，可得出結(jié)論；
（2）連接BD，在Rt△ABD中利用等積法可求得DE，則可求得CD，容易證明△ACE∽△DBE，再利用相似比可求得BE，則可計算出△DBC的面積；
（3）當(dāng)四邊形CBFD為平行四邊形時，可證得CD=AB，即CD為直徑，當(dāng)過點A的直線把四邊形CBFD的面積兩等分時可知AP過BD的中點M，在Rt△ADM中可求得AM，再結(jié)合△ADM∽△BPM，可求得MP，可計算出AP的長度．

解答：（1）證明：
∵CD⊥AB，BF∥CD，
∴∠ABF=∠AED=90°，
∴BF⊥AB，
∴BF是⊙O的切線；
（2）解：
如圖1，連接BD，

∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，且AB=10cm，AD=8cm，
∴BD=6cm，
又AB•DE=AD•BD，即10DE=48，解得DE=CE=

24

5

cm，
∴CD=

48

5

cm，
∵∠CAE=∠BDE，∠CEA=∠BED，
∴△ACE∽△DBE，
∴

CE

BE

=

AC

BD

，且AC=AD，
∴

24 5

BE

=

8

6

，解得BE=

18

5

cm，
∴S_△DBC=

1

2

CD•BE=

1

2

×

48

5

×

18

5

=

432

25

；
（3）解：
如圖2，當(dāng)四邊形CBFD為平行四邊形時，連接BD，

則∠BCD=∠F=∠CDA=∠BAD=45°，
∴∠CAD=2∠BAD=90°，
∴CD為直徑，
∴AE=ED=5cm，
∴AD=DB=5

2

cm，
當(dāng)過點A的直線把四邊形CBFD的面積兩等分時，可知AP過BD的中點M，
∴DM=BM=

5 2

2

cm，在Rt△ADM中，由勾股定理可得AM=

AD2+DM2

=

(5 2 )2+( 5 2 2 )2

=

5 10

2

cm，
在△ADM和△BPM中，∠DAM=∠PBM，∠ADM=∠BPM，
∴△ADM∽△BPM，
∴

AM

BM

=

DM

PM

，即

5 10 2

5 2 2

=

5 2 2

PM

，解得PM=

10

2

cm，
∴AP=AM+PM=

5 10

2

+

10

2

=3

10

（cm）．

點評：本題主要考查切線的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理等知識的綜合應(yīng)用．掌握切線的兩種證明方法，即有切點時連接切點證明垂直、無切點時作垂直證明距離等于半徑；注意學(xué)會在復(fù)雜圖形中找角相等．在第（3）問中確定出AP經(jīng)過BD的中點是解題的關(guān)鍵，利用平行四邊形的對稱性即可得出．