【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=x+m (m為常數(shù))的圖像與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線y=ax2+bx+c(ab,c為常數(shù),且a0)經(jīng)過A、C兩點(diǎn),并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B

(1)m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),△ACP周長最小時(shí),求出P的坐標(biāo);

(3)是否存在拋物在線一動(dòng)點(diǎn)Q,使得△ACQ是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;

(4)(2)的條件下過點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1,y1),M2(x2,y2)兩點(diǎn),試問是否為定值,如果是,請(qǐng)直接寫出結(jié)果,如果不是請(qǐng)說明理由.

【答案】(1),y=x2+x+;(2)(1,3)(3)存在,5.2 ,7.2;(4)是.

【解析】

試題(1)首先求得m的值和直線的解析式,根據(jù)拋物線對(duì)稱性得到B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)A、B點(diǎn)坐標(biāo)利用交點(diǎn)式求得拋物線的解析式;

(2)確定何時(shí)ACP的周長最小.利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的原理解決;確定P點(diǎn)坐標(biāo)P(1,3),從而直線M1M2的解析式可以表示為y=kx+3-k;

(3)存在, 設(shè)Q(x,x2+x+)C為直角頂點(diǎn), 則由ACO相似于△CQE,得x=5.2,A為直角頂點(diǎn),則由ACO相似于△AQE,得x=8.2從而求出Q點(diǎn)坐標(biāo).

4利用兩點(diǎn)間的距離公式,分別求得線段M1M2、M1P和M2P的長度,相互比較即可得到結(jié)論:為定值.

試題解析(1)y=x+m經(jīng)過點(diǎn)(-3,0),

0=+m,解得m=

直線解析式為y=x+,C(0,).

拋物線y=ax2+bx+c對(duì)稱軸為x=1,且與x軸交于A(-3,0),另一交點(diǎn)為B(5,0),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x-5),

拋物線經(jīng)過C(0,),

=a3(-5),解得a=,

拋物線解析式為y=x2+x+

2)要使ACP的周長最小,只需AP+CP最小即可.圖2,

連接BC交x=1于P點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=1對(duì)稱,根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短,可知此時(shí)AP+CP最。ˋP+CP最小值為線段BC的長度).

B(5,0),C(0,),

直線BC解析式為y=x+,

xP=1,yP=3,即P(1,3).

(3)3)存在 設(shè)Q(x, x2+x+)

C為直角頂點(diǎn), 則由ACO相似于△CQE,得x=5.2

A為直角頂點(diǎn),則由ACO相似于△AQE,得x=8.2

∴Q的橫坐標(biāo)為5.2 ,7.2

(4)令經(jīng)過點(diǎn)P(1,3)的直線為y=kx+b,則k+b=3,即b=3-k,

則直線的解析式是:y=kx+3-k,

y=kx+3-k,y=x2+x+,

聯(lián)立化簡得:x2+(4k-2)x-4k-3=0,

x1+x2=2-4k,x1x2=-4k-3.

y1=kx1+3-k,y2=kx2+3-k,y1-y2=k(x1-x2).

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到:

=4(1+k2).

同理

=4(1+k2).

M1PM2P=M1M2,

為定值.

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖(1),是兩個(gè)全等的直角三角形(直角邊分別為a,b,斜邊為c

1)用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖(2)的圖形,利用這個(gè)圖形,證明:a2+b2c2

2)用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造圖3的圖形,你能利用這個(gè)圖形證明出題(1)的結(jié)論嗎?如果能,請(qǐng)寫出證明過程;

3)當(dāng)a3,b4時(shí),將其中一個(gè)直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中,使直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,兩直角邊a,b分別與x軸、y軸重合(如圖4RtAOB的位置).點(diǎn)C為線段OA上一點(diǎn),將△ABC沿著直線BC翻折,點(diǎn)A恰好落在x軸上的D處.

①請(qǐng)寫出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo);

②若△CMD為等腰三角形,點(diǎn)Mx軸上,請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo).

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【題目】如圖,已知點(diǎn)A,B在半徑為1⊙O上,∠AOB=60°,延長OBC,過點(diǎn)C作直線OA的垂線記為l,則下列說法正確的是( )

A. 當(dāng)BC等于0.5時(shí),l⊙O相離

B. 當(dāng)BC等于2時(shí),l⊙O相切

C. 當(dāng)BC等于1時(shí),l⊙O相交

D. 當(dāng)BC不為1時(shí),l⊙O不相切

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,圓M經(jīng)過原點(diǎn)O,且與x軸、y軸分別相交于A(﹣8,0),B(0,﹣6)兩點(diǎn).

(1)求出直線AB的函數(shù)解析式;

(2)若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸且經(jīng)過點(diǎn)M,頂點(diǎn)C在圓M上,開口向下,且經(jīng)過點(diǎn)B,求此拋物線的函數(shù)解析式;

(3)設(shè)(2)中的拋物線交x軸于D、E兩點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得SPDE=SABC?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,已知均是等邊三角形,點(diǎn)在同一條直線上,交于點(diǎn)交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,則下列結(jié)論:①;②;③﹔④,其中正確結(jié)論有_________個(gè).

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【題目】(本小題滿分12分)

已知:把RtABC和RtDEF按如圖(1)擺放(點(diǎn)C與點(diǎn)E重合),點(diǎn)B、C(E)、F在同一條直線上.ACB = EDF = 90°,DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm

如圖(2),DEF從圖(1)的位置出發(fā),以1 cm/s的速度沿CBABC勻速動(dòng),在DEF移動(dòng)的同時(shí),點(diǎn)P從ABC的頂點(diǎn)B出發(fā),以2 cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).當(dāng)DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí),DEF停止移動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng).DE與AC相交于點(diǎn)Q,連接PQ,設(shè)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<4.5).

解答下列問題:

(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上?

(2)連接PE,設(shè)四邊形APEC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;是否存在某一時(shí)刻t,使面積y最?若存在,求出y的最小值;若不存在,說明理由.

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說明理由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是矩形,ADx軸,A(-3,),AB=1,AD=2,將矩形ABCD向右平移m個(gè)單位,使點(diǎn)AC恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)y=的圖象上,得矩形A′B′C′D′,則反比例函數(shù)的解析式為______

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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0沒有實(shí)數(shù)根,有下列結(jié)論:①b2﹣4ac>0;②abc<0;③m>2;④當(dāng)x>0時(shí),yx的增大而減。_結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】如圖,等邊的邊長為,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以秒的速度由勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以秒的速度由勻速運(yùn)動(dòng),、交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí),、兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)、兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒,若時(shí),則的值是(  )

A.B.C.D.

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