Question

已知矩形OABC的頂點(diǎn)O（0，0）、A（4，0）、B（4，-3）．動點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線OB方向運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）如圖，以P為一頂點(diǎn)的正方形PQMN的邊長為2，且邊PQ⊥y軸．設(shè)正方形PQMN與矩形OABC的公共部分面積為S，當(dāng)正方形PQMN與矩形OABC無公共部分時，運(yùn)動停止．
①當(dāng)t＜4時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)t＞4時，設(shè)直線MQ、MN分別交矩形OABC的邊BC、AB于D、E，問：是否存在這樣的t，使得△PDE為直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)PN與x軸交于點(diǎn)D，先由矩形的性質(zhì)得出∠OAB=90°，在Rt△OAB中運(yùn)用勾股定理求出OB=5，再由PD∥AB，得到△OPD∽△OBA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得

OD

OA

=

PD

AB

=

OP

OB

，求得OD、PD，即可確定P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①分三種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)0＜t≤

5

2

時時，設(shè)PQ與y軸交于點(diǎn)E，則S=S_矩形ODPE=OD•PD；（ii）當(dāng)

5

2

＜t≤

10

3

時時，設(shè)PN與x軸交于點(diǎn)D，QM與x軸交于點(diǎn)F，則S=S_矩形PQFD=PQ•PD；（iii）當(dāng)

10

3

＜t＜4時，S=S_{正方形PQMN}；
②分三種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)4＜t≤5時，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DPE＜∠DBE=90°，則△PDE不可能為直角三角形；（ii）當(dāng)t=5時，∠DPE=∠DBE=90°，此時，△PDE為直角三角形；（iii）當(dāng)t＞5時，由于∠DPE＜∠DBE=90°，則當(dāng)△PDE為直角三角形時，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．若∠PDE=90°，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；若∠PED=90°，則△PNE∽△EMD，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出關(guān)于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）設(shè)PN與x軸交于點(diǎn)D，如圖1．
∵矩形OABC中，OA=4，AB=3，∠OAB=90°，
∴OB=5．
∵PD∥AB，
∴△OPD∽△OBA，
∴

OD

OA

=

PD

AB

=

OP

OB

，
∴

OD

4

=

PD

3

=

t

5

，
∴OD=

4

5

t，PD=

3t

5

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（

4

5

t，-

3

5

t）；

（2）①當(dāng)0＜t≤

5

2

時，S=

4

5

t×

3

5

t=

12

25

t²，
當(dāng)

5

2

＜t≤

10

3

時，S=2×

3

5

t=

6

5

t，
當(dāng)

10

3

＜t＜4時，S=4；

②當(dāng)QM運(yùn)動到AB位置時，恰好無公共部分，

4

5

t＜4+2，即t＜

15

2

．
（�。┊�(dāng)4＜t＜5時，∠DPE＞∠DBE=90°，△PDE不可能為直角三角形，
（ⅱ）當(dāng)t=5時，∠DPE=∠DBE=90°，此時△PFE是直角三角形，
（ⅲ）當(dāng)5＜t＜

15

2

時，∠DPE＜90°，還有兩種可能，∠PDE=90°或∠PED=90°．
若∠PDE=90°，則

PQ

QD

=

DM

ME

，可得

2

3 5 t-3

=

5- 3 5 t

6- 4 5 t

，
整理得9t²-160t+675=0，
解得t=

80±5 13

9

，應(yīng)取t=

80-5 13

9

，
若∠PED=90°，則

PN

NE

=

EM

MD

，
可得

2

4 5 t-4

=

6- 4 5 t

5- 3 5 t

，
整理得8t²-115t+425=0，
注意到△＜0，該方程無實(shí)數(shù)解
綜上所述，符合條件的t的值有兩個，t=5或t=

80-5 13

9

．

點(diǎn)評：本題是關(guān)于動點(diǎn)問題的相似形綜合題，其中涉及到矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的面積等知識，綜合性較強(qiáng)，難度較大．在解決動點(diǎn)問題時，采用數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，能使問題形象直觀，從而有助于解題．