Question

【題目】如圖1所示的遮陽(yáng)傘,傘柄垂直于水平地面,其示意圖如圖2所示,當(dāng)傘收緊時(shí)P與A重合,當(dāng)傘慢慢撐開(kāi)時(shí),動(dòng)點(diǎn)P由A向B移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B時(shí),傘張得最開(kāi),此時(shí)最大張角∠ECF=150°,已知傘在撐開(kāi)的過(guò)程中,總有PM=PN=CM=CN=6.0分米CE=CF=18.0分米.

(1)求AP長(zhǎng)的取值范圍;

(2)當(dāng)∠CPN=60°,求AP的值;

(3)在陽(yáng)光垂直照射下,傘張得最開(kāi)時(shí),求傘下的陰影(假定為圓面)面積S.(結(jié)果保留 )(參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)

Answer 1

【答案】（1）AP的取值范圍為0≤AP≤8.88分米；（2）AP=6分米；（3）傘下陰影面積為平方分米

【解析】試題分析：

（1）如下圖，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，AP最長(zhǎng)，此時(shí)∠MCN=150°，連接MN交BC于點(diǎn)O，由題意易得四邊形CMPN是菱形，利用菱形對(duì)角線互相垂直平分可得∠COM=75°，結(jié)合CM=6.0分米，可解得CO=1.56分米，從而可得BC=3.12分米，再結(jié)合AC=12分米可得AB=8.88分米，由此即可得到；

（2）當(dāng)∠CPN=60°時(shí)，結(jié)合PN=CN=6，可知△CPN此時(shí)是等邊三角形，故CP=6，結(jié)合AC=12可得此時(shí)AP=6分米；

（3）如下圖，由題意可知，此時(shí)點(diǎn)P與B重合，連接EF交AC于點(diǎn)D，由（1）可知MO=MC·sin∠MCO=5.82(分米)，從而可得：MN=11.64(分米)，再證△CMN∽△CEF即可結(jié)合已知求得EF的長(zhǎng)，從而即可求出所求面積了.

試題解析：

(1)當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí),AP最長(zhǎng),

此時(shí)∠MCN=1500

如圖所示，連接MN交CB于點(diǎn)O，

∵PM=PN=CM=CN=6.0分米,

∴四邊形CMPN是菱形，

∴CB⊥MN,即∠COM=90°,∠MCO=∠MCN=75°，

在Rt△MCO中,∠MCO=75°,CM=6.0分米,

∴CO=CM·cos∠MCO=6.0×0.26=1.56(分米)，

∴BC=2C0=3.12(分米)，

∵AC=MC+MP=12(分米),

∴AP=12-3.12=8.88(分米)，

∴AP的取值范圍為0≤AP≤8.88分米，

(2)當(dāng)∠CPN=60°時(shí),CP=CM=6分米,

∴AP=6分米；

(3)傘張開(kāi)最大時(shí),點(diǎn)P與B重合,如圖所示,連接EF交AC于D，

由(1)可得MO=MC·sin∠MCO=6.0×0.97=5.82(分米)，

MN=2MO=11.64(分米)，

在△CMN和△CEF中,∠MCN=∠ECF,CM=CN,CE=CF，

∴△CMN∽△CEF，

，

得EF=34.92分米，

∴傘下陰影面積 (平方分米).