【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于點(diǎn)A、B(A左B右),交y軸于點(diǎn)C,S△ABC=6,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若∠PCB=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1,連接PC、AQ,當(dāng)PC=AQ時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及△PCQ的面積.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3.(2)P(2,3);
(3).
【解析】
試題分析:(1)利用三角形的面積求出a即可得出拋物線解析式;
(2)先判斷出∠OBC=45°,而點(diǎn)P在第一象限,所以得出CP∥OB即:點(diǎn)P和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)一樣,即可確定出點(diǎn)P坐標(biāo);
(3)根據(jù)點(diǎn)P在第一象限,點(diǎn)Q在第二象限,且橫坐標(biāo)相差1,進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P(3﹣m,﹣m2+4m)(0<m<1);得出點(diǎn)Q(4﹣m,﹣m2+6m﹣5),得出CP2,AQ2,最后建立方程求解即可.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x+1)(x﹣3),
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3a),
∴AB=4,OC=|﹣3a|=|3a|,
∵S△ABC=6,
∴ABOC=6,
∴×4×|3a|=6,
∴a=﹣1或a=1(舍),
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)由(1)知,B(3,0),C(0,﹣3a),
∴C(0,3),
∴OB=3,OC=3,
∴△OBC是等腰直角三角形,
∴∠BCO=∠OBC=45°,
∵點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且∠PCB=45°,
∴PC∥OB,
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,
由(1)知,拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,
令y=3,∴﹣x2+2x+3=3,
∴x=0(舍)或x=2,
∴P(2,3);
(3)如圖2,過點(diǎn)P作PD⊥x軸交CQ于D,設(shè)P(3﹣m,﹣m2+4m)(0<m<1);
∵C(0,3),
∴PC2=(3﹣m)2+(﹣m2+4m﹣3)2=(m﹣3)2[(m﹣1)2+1],
∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1,
∴Q(4﹣m,﹣m2+6m﹣5),
∵A(﹣1,0).
∴AQ2=(4﹣m+1)2+(﹣m2+6m﹣5)2=(m﹣5)2[(m﹣1)2+1]
∵PC=AQ,
∴81PC2=25AQ2,
∴81(m﹣3)2[(m﹣1)2+1]=25(m﹣5)2[(m﹣1)2+1],
∵0<m<1,
∴[(m﹣1)2+1]≠0,
∴81(m﹣3)2=25(m﹣5)2,
∴9(m﹣3)=±5(m﹣5),
∴m=或m=(舍),
∴P(,),Q(,﹣),
∵C(0,3),
∴直線CQ的解析式為y=﹣x+3,
∵P(,),
∴D(,﹣),
∴PD=+=,
∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD==PD×xP+=PD×(xQ﹣xP)==PD×xQ==××=.
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A.1道
B.2道
C.3道
D.4道
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(1)請根據(jù)所提供的信息計(jì)算身高在160~165cm范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù),并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)樣本的中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)圖的哪個(gè)范圍內(nèi)?
(3)如果上述樣本的平均數(shù)為157cm,方差為0.8;該校八年級學(xué)生身高的平均數(shù)為159cm,方差為0.6,那么 (填“七年級”或“八年級”)學(xué)生的身高比較整齊.
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