Question

如圖，O為矩形ABCD的中心（AB＜BC），過O且互相垂直的兩條直線被矩形四邊所截，設(shè)截得的線段EF和GH長(zhǎng)度分別為x，y，四邊形EGFH的面積為S，當(dāng)這兩條直線保持垂直且圍繞O點(diǎn)不停旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列說法正確的是（　�。�
①某一階段，y隨x的增大面增大，y是x的正比例函數(shù)
②某一階段，y隨x的增大面減小，y是x的反比例函數(shù)
③僅當(dāng)四邊形EGFH與矩形一條對(duì)角線重合時(shí)，S最大
④僅當(dāng)四邊形EGFH的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等時(shí)，S最�。�

• A、①②
• B、①③
• C、①②③
• D、①③④

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：作EM⊥BC于M，GN⊥CD于N，連結(jié)EG、GF、FH、HE，由EF⊥GH得∠2+∠OQG=90°，由EM⊥GN得∠1+∠EQP=90°，則∠1=∠2，可判斷Rt△EMF∽R(shí)t△GNH，利用相似比得到

x

y

=

EM

GN

，而EM=AB，GN=BC，則y=

BC

AB

•x，所以y是x的正比例函數(shù)，可對(duì)①②進(jìn)行判斷；由AB＜BC可對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)O為矩形ABCD的中心（AB＜BC），EF和GH過點(diǎn)O，且互相垂直得EF互相垂直平分，于是得到四邊形EGFH為菱形，則S_菱形EGFH=

1

2

EF•GH=

BC

2AB

•x²，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x＞0時(shí)，S隨x的增大而增大，而x的最大值為矩形的對(duì)角線，所以當(dāng)四邊形EGFH與矩形一條對(duì)角線重合時(shí)，S最大，則可對(duì)③進(jìn)行判斷．

解答：解：作EM⊥BC于M，GN⊥CD于N，EM與GN相交于P點(diǎn)，EF與GN交于Q點(diǎn)，如圖，
∵EF⊥GH，
∴∠2+∠OQG=90°，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴GN∥BC，
∴EM⊥GN，
∴∠1+∠EQP=90°，
∴∠1=∠2，
∴Rt△EMF∽R(shí)t△GNH，
∴

EF

GN

=

EM

GN

，即

x

y

=

EM

GN

，
易得EM=AB，GN=BC，
∴

x

y

=

AB

BC

，
∴y=

BC

AB

•x，所以①正確，②錯(cuò)誤；
∵AB＜BC，
∴x與y不相等，所以④錯(cuò)誤；
∵O為矩形ABCD的中心（AB＜BC），EF和GH過點(diǎn)O，且互相垂直，
∴EF互相垂直平分，
∴四邊形EGFH為菱形，
∴S_菱形EGFH=

1

2

EF•GH=

1

2

x•y=

1

2

x•

BC

AB

•x=

BC

2AB

•x²，
當(dāng)x＞0時(shí)，S隨x的增大而增大，而x的最大值為矩形的對(duì)角線，
∴僅當(dāng)四邊形EGFH與矩形一條對(duì)角線重合時(shí)，S最大，所以③正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用相似三角形的知識(shí)解決線段之間的關(guān)系．