【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=x+3交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C,交x軸正半軸于點(diǎn)B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x.
①若點(diǎn)P在第二象限,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于N,交直線AC于點(diǎn)M,求線段PM關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求出PM的最大值;
②若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn),連接CP,以CP為邊作正方形CPEF,當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí),請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+3;(2)①當(dāng)x=﹣2時(shí),線段PM的長(zhǎng)有最大值,最大值為;②P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,0)或(﹣,)或(2,0)或(﹣,).
【解析】試題分析:(1)利用一次函數(shù)解析式確定當(dāng)C(0,3),A(﹣4,0),然后利用待定系數(shù)法確定拋物線解析式;
(2)①設(shè)P(x,﹣x2﹣x+3)(﹣4<x<0),則M(x,x+3),則PM=﹣x2﹣x+3﹣(x+3),然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題;
②作PK⊥y軸于K,交拋物線的對(duì)稱軸于G,如圖,先證明△PEG≌△CPK得到CK=PG,設(shè)P(x,﹣x2﹣x+3),拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,則G(﹣1,﹣x2﹣x+3),K(0,﹣x2﹣x+3),則PG=|﹣1﹣x|=|x+1|,CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|,所以|x+1|=|﹣x2﹣x|,然后解絕對(duì)值方程求出x,從而得到滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=x+3=3,則C(0,3);
當(dāng)y=0時(shí),x+3=0,解得:x=﹣4,則A(﹣4,0),把A(﹣4,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c得:,解得:,∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+3;
(2)①設(shè)P(x,﹣x2﹣x+3)(﹣4<x<0),則M(x,x+3),∴PM=﹣x2﹣x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣x=﹣(x+2)2+
當(dāng)x=﹣2時(shí),線段PM的長(zhǎng)有最大值,最大值為;
②作PK⊥y軸于K,交拋物線的對(duì)稱軸于G,如圖.∵四邊形PEFC為正方形,∴PE=PC,∠EPC=90°.∵∠PGE=∠PKC=90°,∴∠PEG=∠CPK,易得△PEG≌△CPK,∴CK=PG,設(shè)P(x,﹣x2﹣x+3),拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,則G(﹣1,﹣x2﹣x+3),K(0,﹣x2﹣x+3),∴PG=|﹣1﹣x|=|x+1|,CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|,∴|x+1|=|﹣x2﹣x|,解方程x+1=﹣x2﹣x得:x1=﹣4,x2=﹣;
解方程x+1=x2+x得:x1=2,x2=﹣;
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,0)或(﹣)或(2,0)或(﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系中,、、,其中、滿足關(guān)系式,平移使點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn).
(1)直接寫出、兩點(diǎn)的坐標(biāo),則(______,______)、(______,______).
(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn),猜想與數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn),為軸上點(diǎn)左側(cè)的一動(dòng)點(diǎn),連接,平分,平分,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),的值是否變化?如果變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不變,請(qǐng)求出其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把四張形狀大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片(如圖①)不重疊地放在一個(gè)底面為長(zhǎng)方形(長(zhǎng)為m,寬為n)的盒子底部(如圖②),盒子底部未被卡片覆蓋的部分用陰影表示,則圖②中兩塊陰影部分周長(zhǎng)和是_________(用代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】北京時(shí)間2019年4月10日人類首次直接拍攝到黑洞的照片,它是一個(gè)“超巨型”質(zhì)量黑洞,位于室女座星系團(tuán)中一個(gè)超大質(zhì)量星系﹣M87的中心,距離地球5500萬(wàn)光年.?dāng)?shù)據(jù)“5500萬(wàn)光年”用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.5500×104光年B.055×108光年
C.5.5×103光年D.5.5×107光年
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(12分)菱形ABCD中,兩條對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),射線OM交邊BC于點(diǎn)E,射線ON交邊DC于點(diǎn)F,連接EF.
(1)如圖1,當(dāng)∠ABC=90°時(shí),△OEF的形狀是 ;
(2)如圖2,當(dāng)∠ABC=60°時(shí),請(qǐng)判斷△OEF的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)在(1)的條件下,將∠MON的頂點(diǎn)移到AO的中點(diǎn)O′處,∠MO′N繞點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn),仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°,射線O′M交直線BC于點(diǎn)E,射線O′N交直線CD于點(diǎn)F,當(dāng)BC=4,且時(shí),直接寫出線段CE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在校園手工制作活動(dòng)中,甲、乙兩人接到手工制作紙花任務(wù),已知甲每小時(shí)制作紙花比乙每小時(shí)制作紙花少20朵,甲制作120朵紙花的時(shí)間與乙制作160朵紙花的時(shí)間相同
(1)求甲、乙兩人每小時(shí)各制作紙花多少朵?
(2)本次活動(dòng)學(xué)校需要該種紙花不少于350朵,若由甲、乙兩人共同制作,則至少需要幾小時(shí)完成任務(wù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校計(jì)劃把一塊近似于直角三角形的廢地開發(fā)為生物園,如圖所示,∠ACB=90°,BC=60米,∠A=36°.
(1)若入口處E在AB邊上,且與A、B等距離,求CE的長(zhǎng)(精確到個(gè)位);
(2)若D點(diǎn)在AB邊上,計(jì)劃沿線段CD修一條水渠.已知水渠的造價(jià)為50元/米,水渠路線應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使造價(jià)最低,求出最低造價(jià).
(其中sin36°=0.5878,cos36°=0.8090,tan36°=0.7265)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、1,與y軸交于點(diǎn)C,下面四個(gè)結(jié)論:①16a+4b+c<0;②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則y1>y2;③c=﹣3a;④若△ABC是等腰三角形,則b=﹣或﹣.其中正確的有_____.(請(qǐng)將正確結(jié)論的序號(hào)全部填在橫線上)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交AB于D,過(guò)點(diǎn)O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)如果⊙O的半徑為,ED=2,延長(zhǎng)EO交⊙O于F,連接DF、AF,求△ADF的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由OE∥AB,根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì),易證得≌ 即可得,則可證得為的切線;
(2)連接CD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長(zhǎng),又由OE∥AB,證得根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得的長(zhǎng),然后利用三角函數(shù)的知識(shí),求得與的長(zhǎng),然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
試題解析:(1)證明:連接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切線;
(2)連接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直徑,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面積為
【題型】解答題
【結(jié)束】
25
【題目】【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個(gè)公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.
(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示);
(2)直線與拋物線的另外一個(gè)交點(diǎn)記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;
(3)a=﹣1時(shí),直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G,點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個(gè)單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),試求t的取值范圍.
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