Question

【題目】如圖，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)且FB＝1.

（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，A，E三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式；

（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)△OAP的面積為2，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x2＋4x（2）(1，2)，(1＋，－2)或(1－，－2)（3）拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q(， )使△AFQ是等腰直角三角形

【解析】試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)出二次函數(shù)的解析式，待定系數(shù)即可；

（2）判斷出面積為2時(shí)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入函數(shù)可求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意，分三種情況討論解答.

試題解析：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，0)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1，2)．

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式是y＝ax2＋bx＋c，根據(jù)題意，得

解得

∴拋物線(xiàn)的解析式是y＝－2x2＋4x.

(2)當(dāng)△OAP的面積是2時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2或－2.

當(dāng)－2x2＋4x＝2時(shí)，解得x＝1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1，2)；

當(dāng)－2x2＋4x＝－2時(shí)，解得x＝1±，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1＋，－2)或(1－，－2)．

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)，(1＋，－2)或(1－，－2)．

(3)∵AF＝AB＋BF＝2＋1＝3，OA＝2.

則點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q不可能在拋物線(xiàn)上；

當(dāng)點(diǎn)F是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q不可能在拋物線(xiàn)上；

當(dāng)點(diǎn)Q是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q到AF的距離是AF＝，若點(diǎn)Q存在，則Q的坐標(biāo)是(， )．將Q(， )代入拋物線(xiàn)解析式成立．

∴拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q(， )使△AFQ是等腰直角三角形．